📝 江南大学 2026年高等代数真题

1、求行列式

$$
D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}
x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-1} & \frac{1}{x_{1}} \\
x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} & \frac{1}{x_{2}} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-1} & \frac{1}{x_{n}}
\end{array}\right| .
$$

2、设 $\displaystyle A, B$ 为2阶实方阵，满足 $\displaystyle (A+B)^{4}=(A+2 B)^{4}=(A+3 B)^{4}$ ，证明：

$$
A B+B A=0 .
$$

3、设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩，证明：$\displaystyle r(A)=n$ 当且仅当存在一个实阵 $B$ ，使 $\displaystyle A^{\top} B+B^{\top} A$ 是正定矩阵．

4、数域 $\displaystyle K, n>1$ ，矩阵 $\displaystyle A \in K^{n \times n}, A$ 的元素 $\displaystyle a_{2 j}=\left\{\begin{array}{l}a, i \neq j \\ 1, i=j\end{array}\right.$ ，求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$的解空间 $S$ ．

5、设 $A$ 为2026阶非零实方阵，$\displaystyle A_{i j}$ 为 $A$ 的元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，$\displaystyle A_{i j}=a_{i j}$ 对所有的 $\displaystyle 1 \leq i, j \leq 2026$ 都成立，求 $A$ 的秩和行列式．

6、设 $A$ 为数域 $k$ 中的矩阵，其中以 $A$ 为根的多项式，次数最小，首项系数为 1的多项式为最小多项式，设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{n}$ 为 $k$ 中的矩阵，它们的最小多项式两两

互素，有 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{n}(x)$ 为多项式，证明：存在一个多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使

$$
f\left(A_{i}\right)=f_{i}\left(A_{i}\right), \quad i=1, \ldots, n .
$$

7、设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & \beta \\ \beta^{\top} & \alpha\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \beta$ 为 $\displaystyle n-1$ 阶列向量．
（1）证明：$\displaystyle \alpha-\beta^{\top} A_{1} \beta>0$ ．
（2）若 $A$ 的非对角线元素都不大于零，即 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ ，当 $\displaystyle i \neq j$ 时，$\displaystyle a_{i j} \leq 0$ ，证明： $\displaystyle A^{-1}$ 的元素都非负．

8、设数域 $\displaystyle K, M=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义在 $K$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma: \sigma(x)=M X-X M$ ，

$$
W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}
x_{1} & x_{2} \\
x_{3} & x_{4}
\end{array}\right) \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0, x_{i} \in K, i=1,2,3,4\right\} .
$$

是数域 $k$ 的子空间．
（1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间．
（2）$\displaystyle \sigma \mid W$ 是线性变换在 $W$ 的上的限制．

9、设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，与 $\displaystyle I_{n}+J(0, n)$ 相似，$\displaystyle I_{n}$ 为单位 $n$ 矩阵，$\displaystyle J(0, n)$ 为对角线元素为 0 的 Jordan 阵，即

$$
J(0, n)=\left(\begin{array}{llll}
0 & & & \\
1 & 0 & & \\
& 1 & & 0 \\
& & 1 & 0
\end{array}\right) .
$$

证明：存在复问量 $\displaystyle \alpha \in C^{n}$ ，使 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \ldots, A^{n-1} \alpha$ 线性无关．

10、设 $A$ 为实对称矩阵，证明：存在正定矩阵 $\displaystyle P, Q$ ，使

$$
P A Q=\left(\begin{array}{llll}
\lambda_{1} & & & \\
& \lambda_{2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{n}
\end{array}\right)
$$

其中 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}>0$ ．