📝 湖南大学 2025年数学分析真题

1．已知 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\sqrt{5 x_{n}}$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫并求其极限．

2．已知 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是无界数列，但不是无穷大量．证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 存在两个子列，一个是收敛数列，另一个是无穷大量．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R}$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 可以取到 $\displaystyle \inf _{x \in \mathbb{R}} f(x)$ ．

4．解答如下问题：
（1）若 $\displaystyle 0<\eta<1$ ，证明：$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (\eta, 1)$ 上一致连续．
（2）证明 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致收敛．

5．讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}(p \in \mathbb{R})$ 的敛散性．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，任取 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{1}\right) f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ．证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 介于 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$之间，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

7．解答如下问题：
（1）证明： $\displaystyle \int_{a}^{b}\left|x-\frac{a+b}{2}\right|^{n} \mathrm{~d} x=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{2^{n}(n+1)}$ ．
（2）已知 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{n} f(x) \mathrm{d} x=1, \int_{0}^{1} x^{k} f(x) \mathrm{d} x=0(k=0,1,2, \cdots, n-1)$ ．证明：

$$
\max _{x \in[0,1]}|f(x)| \geq 2^{n}(n+1)
$$

8．证明：$\displaystyle x \rightarrow a$ 时 $\displaystyle f(x, y)$ 一致收敛于 $\displaystyle \varphi(y)$ 的充要条件是对任意趋近于 $a$ 的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}, f\left(x_{n}, y\right)$ 一致收敛于 $\displaystyle \varphi(y)$ 。

9．计算

$$
I=\iint_{\Sigma} 4 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $\displaystyle \Sigma$ 是由 $\displaystyle z=e^{y}(0 \leq y \leq a)$ 绕 $z$ 轴旋转一周生成的曲面，取下侧．