📝 苏州大学 2025年数学分析真题
第1题
1、设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x^{2}}, x \neq 0 \\ 1, x=0\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle f^{(2024)}(0)$ ．
第2题
2、已知 $\displaystyle f(x)=\cos \left(x^{p}\right)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续，求 $p$ 的取值范围．
第3题
3、设 $\displaystyle I(x)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x y^{2}} \sin x \mathrm{~d} y,(x \geq 0)$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} I(x) \mathrm{d} x$ ．
第4题
4、设平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 在球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1$ 内部的平面部分为 $S$ ，计算 $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ．
第5题
5、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明：$\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积。
第6题
6、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且有
$$
f^{\prime}(x)+f(x) \tan x=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t
$$
证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上恒为零．
$$
f^{\prime}(x)+f(x) \tan x=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t
$$
证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上恒为零．
第7题
7、函数 $\displaystyle f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数，且 $\displaystyle f(0,0)=2024, f_{x x}^{\prime \prime}+f_{y y}^{\prime \prime}=2 x y$ ，
记 $\displaystyle L_{r}: x^{2}+y^{2}=r^{2},(r>0)$ ，求 $\displaystyle I(r)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{L_{r}} f(x, y) \mathrm{d} s$ ．
记 $\displaystyle L_{r}: x^{2}+y^{2}=r^{2},(r>0)$ ，求 $\displaystyle I(r)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{L_{r}} f(x, y) \mathrm{d} s$ ．
第8题
8、判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}$ 的玫散性。
第9题
9．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)<0<f(1)$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) \mathbf{>} \mathbf{0}$ ．
（1）证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）记 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=\xi$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{n+1}-\xi}{\left(x_{n}-\xi\right)^{2}}$ ．
（1）证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ．
（2）记 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=\xi$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{n+1}-\xi}{\left(x_{n}-\xi\right)^{2}}$ ．