📝 西南财经大学 2025年数学分析真题

1、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

2、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点。

3、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续 $\displaystyle (a b>0)$ ，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明：

$$
\frac{1}{b-a}\left|\begin{array}{cc}
a & b \\
f(a) & f(b)
\end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi), ~ \text { 其中 } \exists \xi \in(a, b) .
$$

4、讨论如下积分的敛散性：
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x,(p>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x,(p>0)$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x,(p>0)$ ．

5、判断级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n \cos (n \pi)}{\sqrt{n^{3}-2 n+1}}$ 是否收敛，并指出是条件收敛还是绝对收敛。

6、已知 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{x y}, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, k>1$ ，且

$$
D_{1}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x}{k}<y<k x\right.\right\}, D_{2}=\{(x, y) \mid x>0, y>0\}
$$

当 $\displaystyle i=1,2$ 时，分别判断 $\displaystyle \lim _{\substack{r \rightarrow+\infty \\(x, y) \in D_{i}}} f(x, y)$ 是否存在？为什么？

7、计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq \frac{3}{16}} \min \left\{\sqrt{\frac{3}{16}-x^{2}-y^{2}}, 2\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

8．已知函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{m} y^{m}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n}} \arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right),(x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle m>0, n>0$ ，判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的偏导数是否存在？是否可微？