📝 西安理工大学 2024年数学分析真题

1．求数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(|\cos 1|+|\cos 2|+\cdots+|\cos n|)^{\frac{1}{n}}$ 。

2．求函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{x}{\sin ^{3} x}\right)$ ．

3．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle f(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) d x$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$.

4．求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+a \cos x} d x, a \in(0,1)$ ．

5．$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} e^{-t} \cos t d t$ ，求 $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 的最大值和最小值．

6．二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 是否可微？
理由．

7．$\displaystyle f(x)=\frac{4 x-3}{2 x^{2}-3 x-2}$ 展开成 $\displaystyle (x-1)$ 的幂级数，并求其收敛域。

8．计算三重积分 $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是由曲面 $\displaystyle z=2\left(x^{2}+y^{2}\right), z=4$ 所周成
区域。

9．曲线 $L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 取逆时针方向，求 $\displaystyle \oint_{L}\left(x y^{2}+y^{3}\right) d x-\left(x^{2} y-x\right) d y$ ．

10．曲面 $\displaystyle \Sigma: z=x^{2}+y^{2}(z \leq 1)$ 取上侧为正．计算曲面积分

$$
\iint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d z d y+(z-1) d x d y
$$