📝 陕西师范大学 2023年高等代数真题
第1题
1．（15 分）设 $\displaystyle f_{k}(x)(k=1,2, \cdots, n)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明：
$$
\left(x^{n}+\cdots+x+1\right) \mid\left[x^{n-1} f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x^{n-2} f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x f_{n-1}\left(x^{n+1}\right)+f_{n}\left(x^{n+1}\right)\right]
$$
的充要条件是 $\displaystyle (x-1) \mid f_{k}(x), k=1,2, \cdots, n$ ．
$$
\left(x^{n}+\cdots+x+1\right) \mid\left[x^{n-1} f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x^{n-2} f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x f_{n-1}\left(x^{n+1}\right)+f_{n}\left(x^{n+1}\right)\right]
$$
的充要条件是 $\displaystyle (x-1) \mid f_{k}(x), k=1,2, \cdots, n$ ．
第2题
2．（15 分）计算 $n$ 阶行列式
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}+a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & x_{2}+a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{2} & \cdots & x_{n}+a_{n}^{2}
\end{array}\right| .
$$
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}+a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & \cdots & a_{1} a_{n} \\
a_{2} a_{1} & x_{2}+a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n} a_{1} & a_{n} a_{2} & \cdots & x_{n}+a_{n}^{2}
\end{array}\right| .
$$
第3题
3．（20分）已知向量组 $\displaystyle (I)$ 为
$$
\beta_{1}=(0,1,-1)^{T}, \beta_{2}=(s, 2,1)^{T}, \beta_{3}=(t, 1,0)^{T}
$$
向量组（II）为
$$
\alpha_{1}=(1,2,-3)^{T}, \alpha_{2}=(3,0,1)^{T}, \alpha_{3}=(9,6,-7)^{T} .
$$
向量组 $\displaystyle (I)$ 与 $\displaystyle (I I)$ 有相同的秩，且 $\displaystyle \beta_{3}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，求 $\displaystyle s, t$ 的值．
$$
\beta_{1}=(0,1,-1)^{T}, \beta_{2}=(s, 2,1)^{T}, \beta_{3}=(t, 1,0)^{T}
$$
向量组（II）为
$$
\alpha_{1}=(1,2,-3)^{T}, \alpha_{2}=(3,0,1)^{T}, \alpha_{3}=(9,6,-7)^{T} .
$$
向量组 $\displaystyle (I)$ 与 $\displaystyle (I I)$ 有相同的秩，且 $\displaystyle \beta_{3}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，求 $\displaystyle s, t$ 的值．
第4题
4．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，已知
$$
a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n), a_{i j}<0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)
$$
且 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．
$$
a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n), a_{i j}<0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n)
$$
且 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．
第5题
5．（15 分）求使实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+a_{i} x_{i+1}\right)^{2}$（约定 $\displaystyle x_{n+1}=x_{1}$ ）正定的充分必要条件．
第6题
6．（25 分）已知
$$
\begin{aligned}
& \alpha_{1}=(1,2,1,-2), \alpha_{2}=(2,3,1,0), \alpha_{3}=(1,2,2,-3) \\
& \beta_{1}=(1,1,1,1), \beta_{2}=(1,0,1,-1), \beta_{3}=(1,3,0,-4)
\end{aligned}
$$
（1）求 $\displaystyle W_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 的基与维数；
（2）求 $\displaystyle W_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的基与维数；
（3）求 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 及 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的基与维数．
$$
\begin{aligned}
& \alpha_{1}=(1,2,1,-2), \alpha_{2}=(2,3,1,0), \alpha_{3}=(1,2,2,-3) \\
& \beta_{1}=(1,1,1,1), \beta_{2}=(1,0,1,-1), \beta_{3}=(1,3,0,-4)
\end{aligned}
$$
（1）求 $\displaystyle W_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 的基与维数；
（2）求 $\displaystyle W_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的基与维数；
（3）求 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 及 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的基与维数．
第7题
7．（20分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级实矩阵，并设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle B A$ 的非零特征值，以 $\displaystyle V_{\lambda}^{B A}$ 表示 $\displaystyle B A$ 关于 $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间．证明：
（1）$\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle A B$ 的特征值；
（2） $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{A B}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{B A}\right)$ ．
（1）$\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle A B$ 的特征值；
（2） $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{A B}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{B A}\right)$ ．
第8题
8．（15分）有一个 6 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
a & -b & & & & \\
b & a & 1 & & & \\
& & a & -b & & \\
& & b & a & 1 & \\
& & & & a & -b \\
& & & & b & a
\end{array}\right) .
$$
其中 $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ ，且 $\displaystyle b \neq 0$ ，求 $\displaystyle \lambda E-A$ 的不变因子与初等因子以及 $A$ 的若尔当标准形．
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
a & -b & & & & \\
b & a & 1 & & & \\
& & a & -b & & \\
& & b & a & 1 & \\
& & & & a & -b \\
& & & & b & a
\end{array}\right) .
$$
其中 $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ ，且 $\displaystyle b \neq 0$ ，求 $\displaystyle \lambda E-A$ 的不变因子与初等因子以及 $A$ 的若尔当标准形．
第9题
9．（10 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量．