📝 陕西师范大学 2026年高等代数真题
第1题
1．（10 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+3 x^{2}-4 x-1, g(x)=x^{3}+x^{2}-x-1$ ，求 $\displaystyle (f(x), g(x))$ ，并求 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=(f(x), g(x))$ ．
第2题
2．（ 10 分）设 4 级矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{c}
\alpha \\
2 \gamma_{2} \\
3 \gamma_{3} \\
4 \gamma_{4}
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}
\beta \\
\gamma_{2} \\
\gamma_{3} \\
\gamma_{4}
\end{array}\right) .
$$
其中 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 均为 4 维行向量，且已知 $\displaystyle |A|=2800,|B|=100$ ，试计算行列式 $\displaystyle |A-B|$ ．
$$
A=\left(\begin{array}{c}
\alpha \\
2 \gamma_{2} \\
3 \gamma_{3} \\
4 \gamma_{4}
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{c}
\beta \\
\gamma_{2} \\
\gamma_{3} \\
\gamma_{4}
\end{array}\right) .
$$
其中 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 均为 4 维行向量，且已知 $\displaystyle |A|=2800,|B|=100$ ，试计算行列式 $\displaystyle |A-B|$ ．
第3题
3．（10分）在齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\
\quad \cdots \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
中，证明
$$
\begin{gathered}
x_{1}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right|, x_{2}=-\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right|, \\
\cdots, x_{n}=(-1)^{n-1}\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
\end{gathered}
$$
是方程组的解，且若这个解不为零，则方程组的任意解可由它乘以某数得到．
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\
\quad \cdots \cdots \\
a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{array}\right.
$$
中，证明
$$
\begin{gathered}
x_{1}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right|, x_{2}=-\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right|, \\
\cdots, x_{n}=(-1)^{n-1}\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
\end{gathered}
$$
是方程组的解，且若这个解不为零，则方程组的任意解可由它乘以某数得到．
第4题
4．（10 分）设 $\displaystyle A \in M_{m \times n}(P)$ ，证明：$A$ 的秩等于 $r$ 的充要条件是存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $M$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $N$ ，使得 $\displaystyle A=M N$ ．
第5题
5．（10 分）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是正定阵，证明：
$$
0<|A| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}
$$
其中 $\displaystyle a_{i i}$ 为 $A$ 的主对角线上的元素，$\displaystyle i=1,2, \cdots, n$ ．
$$
0<|A| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}
$$
其中 $\displaystyle a_{i i}$ 为 $A$ 的主对角线上的元素，$\displaystyle i=1,2, \cdots, n$ ．
第6题
6．（20 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 级幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W_{1}$ ， $\displaystyle (A-E) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W_{2}$ ，证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
第7题
7．（20分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 3 维线性空间，线性变换 $\displaystyle f: V \rightarrow V$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 6 & -15 \\
1 & 3 & -5 \\
1 & 2 & -4
\end{array}\right)
$$
问 $f$ 可否在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8\end{array}\right)$ ，为什么？
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
4 & 6 & -15 \\
1 & 3 & -5 \\
1 & 2 & -4
\end{array}\right)
$$
问 $f$ 可否在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8\end{array}\right)$ ，为什么？
第8题
8．（20 分）设 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 级可逆阵，证明：存在实数域上的 $n$ 级正定阵 $P$ 和 $n$ 级正交阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ ，并且这一分解式是惟一的．
第9题
9．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle 2 A^{8}-3 A^{5}+A^{4}+A^{2}-4 E$ ．
第10题
10．（20分）设 $n$ 级实矩阵 $A$ 与 $B$ 都可对角化，即存在可逆矩阵 $S$ 与 $T$ ，使得 $\displaystyle S^{-1} A S$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 都是对角矩阵。证明：当 $\displaystyle A B=B A$ 时，存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $A$ 与 $B$ 可同时对角化，即 $\displaystyle C^{-1} A C$ 与 $\displaystyle C^{-1} B C$ 都是对角阵。