第15章 第一型曲线积分与第一型曲面积分

例 1 设 $S$ 是球面 $$ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}, $$ 试计算 $S$ 的面积 $\sigma \left( S\right)$ .

例 2 试计算球面 $$ {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2} $$ 被围在柱面 $$ {x}^{2} + {y}^{2} = {ax} $$ 之内的那一部分的面积.

例 3 试计算双曲抛物面 $z = {xy}$ 被围在圆柱面 ${x}^{2} + {y}^{2} = {a}^{2}$ 内的那一部分的面积.

例 4 问以下两积分相差多少: $$ I = {\iint }_{S}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma , $$ $$ J = {\iint }_{P}\left( {{x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2}}\right) \mathrm{d}\sigma , $$ 这里 $$ S = \left\{ {\left( {x,y,z}\right) \mid {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}}\right\} , $$ $$ P = \{ \left( {x,y,z}\right) \left| \right| x\left| +\right| y\left| +\right| z \mid = a\} . $$

例 5 试计算积分 $$ K = {\iint }_{S}z\mathrm{\;d}\sigma $$ 这里 $S$ 是一段螺旋面: $$ \mathbf{r} = \left( {u\cos v,u\sin v,{bv}}\right) , $$ $$ 0 \leq u \leq a,0 \leq v \leq {2\pi }. $$

例 6 试计算积分 $$ L = {\iint }_{S}{z}^{2}\mathrm{\;d}\sigma , $$ 其中 $S$ 是球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ .