偏导数的定义及其计算法

### 第153题 设 $z=f(x, y)$ 有连续偏导数，证明：存在可微函数 $g(u)$ ，使得 $f(x, y)=g(a x+ b y)(a b \neq 0)$ 的充要条件是 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle b \frac{\partial z}{\partial x}=a \frac{\partial z}{\partial y}$ ． 建设荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 簦题区域 ##

### 第154题 设 $\displaystyle u=\frac{x+y}{2}, v=\frac{x-y}{2}, w=z \mathrm{e}^{y}$ ，取 $u, v$ 为新自变量，$w=w(u, v)$ 为新函数，变换方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial z}{\partial x}=z$ ．其中 $z=z(x, y)$ 具有连续的二阶偏导函数． 建议荅题时问

### 第155题 设 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，$g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{x y}, x^{2}+y^{2}\right)$ ，且 $f(x, y)=1-x-y+ o\left(\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\right)$ ，证明 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值．

### 第156题 求二元函数 $z=f(x, y)=x^{2}-y^{2}-4 x+6$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 9\right\}$ 上的最大值和最小值．

### 第159题 已知 $u=u(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$ ，试确定参数 $a$ 和 $b$ ，使原方程在变换 $u=v(x, y) \mathrm{e}^{a x+b y}$ 下不出现一阶偏导数项．

### 第34题 设 $\displaystyle z=\left(x^{2} \sin y^{5}+x^{3}\right)\left(2 x^{3}+\tan y^{4}\right) x^{\frac{y^{3}}{2}}+e^{x^{5} y^{6}}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．