矩阵的秩的定义（k阶子式）

### 【强化篇】第1题（填空题） 1．已知 $A, B$ 均为 4 阶矩阵，$r\left(A A^{\top}\right)=3,|A B|=\left|\begin{array}{cccc}2 & a & 0 & -a \\ -a & 2 & -5 & b \\ b & 0 & b & -2 \\ 0 & -2 & 4 & 0\end{array}\right|$ ，且 $\left|\begin{array}{ccc}2 & a & -a \\ -a & 2 & b \\ b & 0 & -2\end{array}\right|=$ 5，则 $\left|\begin{array}{ccc}-a & -5 & b \\ 2 & 0 & -a \\ b & b & -2\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ． $\left|\begin{array}{cccc}a_{1}+x_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2}+x_{2} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n}+x_{n}\end{array}\right|$, 其中 $x_{1} \neq 0, i=1,2, \cdots, n$ ．

### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 是非零矩阵，且满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 a & 1-a & 2 a \\ a & -a & a^{2}-2\end{array}\right]$ ，则 ． （A）$a=-1$ ，必有 $r(A)=1$ （B）$a=2$ ，必有 $r(\mathrm{~A})=2$ （C）$a=-1$ ，必有 $r(\boldsymbol{A})=2$ （D）$a=2$ ，必有 $r(\boldsymbol{A})=1$