📝 山东大学 2022年强基真题

已知 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y), f(x y)=f(x) f(y)$ （1）$\displaystyle f(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．$\displaystyle f(1)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ； （2）若 $\displaystyle f(1) \neq 0, x \in Q$ ，求证 $\displaystyle f(x)=x$ ； （3）若 $\displaystyle f(1) \neq 0, x \in R$ ，求证 $\displaystyle f(x)$ 为增函数； （4）若 $\displaystyle f(1) \neq 0, x \in R$ ，求证 $\displaystyle f(x)=x$ 。

已知两直线 $\displaystyle l_{1}: a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0, l_{2}: a_{2} x+b_{2} y+c_{2}=0$ $\displaystyle a, b, c$ 满足何种参数关系时 （1）两直线平行、重合、相交； （2）对于该二元一次方程组，存在无穷多解？无解？唯一解？ （3）若为三直线构成三元一次方程组，则何种参数关系，满足平行？重合？相交？

求证：$\displaystyle { }^{r} n\gt k$ 时， $\displaystyle 3^{n}\lt C_{2 n}^{n}\lt 4^{n}$ 恒成立，存在 $\displaystyle k \in N_{+}$满足。

$\displaystyle f(x)=\frac{x\left(3 x^{2}-2\right)}{1-x^{2}}$ （1）求证：$\displaystyle x \in(0,1)$ 时，$\displaystyle f(x)$ 存在最小值； （2）$\displaystyle a, b, c \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 且 $\displaystyle a+b+c=1$ ，求证：$\displaystyle \frac{a}{1-3 a^{2}}+\frac{b}{1-3 b^{2}}+\frac{c}{1-3 c^{2}} \geq \frac{3}{2}$ 。