📝 武汉大学 2022年强基真题

设 $\displaystyle \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \cdots \mathrm{x}_{\mathrm{n}}(\mathrm{n} \geq 2)$ 均为正数，且满足 $$\displaystyle \frac{1}{x_{1}+2022}+\frac{1}{x_{2}+2022}+\cdots+\frac{1}{x_{n}+2022}=\frac{1}{2022}, $$\displaystyle 证明： $$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}}}{n-1} \geq 2022 . $$

设 F 是椭圆 $\displaystyle C: \frac{\mathrm{x}^{2}}{9}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ 的左焦点，$\displaystyle P$ 为椭圆 $\displaystyle C$ 上一动点， （1）做正方形 FPAB （ $\displaystyle \mathrm{F}, \mathrm{P}, \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 按逆时针排列），当 P 沿椭圆 C 运动一周，求 B 的轨迹方程； （2）设 $\displaystyle Q(3,2)$ 为椭圆外一点，求 $\displaystyle |P Q|+|P F|$ 的取值范围。

已知函数 $\displaystyle f(x)=2 x^{3}+3 a x^{2}+6(3-a) x+2022 a$ ．若函数在区间 $\displaystyle [-2,2]$ 上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围。

连续随机掷一枚骰子，一直掷到 6 点出现 3 次，用 X 表示停止时已经掷的次数。 （1）求 X 的分布列 $\displaystyle \mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{k}), \mathrm{k}=3,4, \ldots$ ； （2）设 $\displaystyle Y=\min (\max (X, 4), 5)$ ，求数学期望 $\displaystyle E(Y)$ 。