📝 东南大学 2020年高等代数真题

1．证明 $\displaystyle x^{n}-1$ 无重根。

2．求证 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & -1 & 2 & -1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & -1 & 2\end{array}\right)$ 的特征值全大于零。

3．证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 实矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+3 E=0$ 当且仅当 $n$ 为偶数。

4．设 $\displaystyle A, B$ 为正定矩阵，证明 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda A-B|$ 的根均大于 0 。

5．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{lllll}1 & & & & \\ 2 & 1 & & & \\ 3 & 0 & 1 & & \\ 4 & 0 & 0 & 1 & \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，
（1）求 $A$ 的若尔当标准形；
（2）求 $A$ 的不变因子；
（3）$\displaystyle A^{2019}$ 是否与 $A$ 相似。

6．$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$W$ 为其子空间，$\displaystyle \eta_{0} \in V$ ，存在 $\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in \mathbb{V}}\left|\xi-\eta_{0}\right|_{0}$
（1）证明：$\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in W}\left|\xi-\eta_{0}\right|$ 当且仅当 $\displaystyle \eta-\eta_{0} \perp W$ ：
（2）$\displaystyle \eta_{0}$ 为单位向量，则 $\displaystyle \eta_{0}$ 与 $W$ 的距离为 1 当且仅当 $\displaystyle \eta_{0} \perp W$ 。

8．$M$ 为 $P$ 上的 $\displaystyle V_{M}=\left\{X \in P^{n \times n} \mid M X=O\right\}$ 。
（1）$\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，讨论 $\displaystyle V_{M}$ 的基；
（2）设 $M$ 的秩为 $r$ ，讨论 $\displaystyle V_{M}$ 的维数。

9．定义 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle f(X)=A X B, X \in P^{2 \times 2}$ ，其中，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$ ，

$$
B=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
$$

（1）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。
（2）判断是否存在一组基，使 $f$ 在该基下的矩阵为对角阵。