📝 中国科学院大学 2024年数学分析真题
第0题
一．（15 分）解答题．
（1）证明：$\displaystyle \left|e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right|<\frac{3}{n}, n \in \mathbb{N}^{+}$．
（2）设非负数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+m} \leq a_{n}+a_{m}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=\inf \left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\int_{0}^{x} e^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
（1）证明：$\displaystyle \left|e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right|<\frac{3}{n}, n \in \mathbb{N}^{+}$．
（2）设非负数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+m} \leq a_{n}+a_{m}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=\inf \left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\int_{0}^{x} e^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．
第0题
七．（15 分）设 $f$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的凸函数，$\displaystyle \varphi$ 为闭区间 $E$ 上的连续函数，证明：
$$
f\left(\frac{1}{\mu(E)} \int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x\right) \leq \frac{1}{\mu(E)} \int_{E} f \circ \varphi(x) \mathrm{d} x
$$
其中 $\displaystyle \mu(E)$ 为 $E$ 的长度．（可能有误）
$$
f\left(\frac{1}{\mu(E)} \int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x\right) \leq \frac{1}{\mu(E)} \int_{E} f \circ \varphi(x) \mathrm{d} x
$$
其中 $\displaystyle \mu(E)$ 为 $E$ 的长度．（可能有误）
第0题
三．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|
$$
$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|
$$
第0题
九．（15 分）计算曲线积分
$$
I=\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是 $\displaystyle [0, a] \times[0, a] \times[0, a]$ 的表面与平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，从上往下看取逆时针方向．十．（15 分）证明：光滑曲线 $\displaystyle y=f(x)(f(x)>0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面面积为
$$
S=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} \mathrm{~d} x
$$
$$
I=\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是 $\displaystyle [0, a] \times[0, a] \times[0, a]$ 的表面与平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，从上往下看取逆时针方向．十．（15 分）证明：光滑曲线 $\displaystyle y=f(x)(f(x)>0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面面积为
$$
S=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} \mathrm{~d} x
$$
第0题
二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，证明以下条件等价：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)$ 在端点 $a$ 和 $b$ 处极限存在．
（3）$\displaystyle f(x)$ 可延拓成 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数．
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．
（2）$\displaystyle f(x)$ 在端点 $a$ 和 $b$ 处极限存在．
（3）$\displaystyle f(x)$ 可延拓成 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数．
第0题
五．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为二阶连续可微函数，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ，求重积分
$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
第0题
八．（15 分）设 $\displaystyle I=\iiint_{V}(x+y-z+10) \mathrm{d} V$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 3$ ，证明：
$$
28 \sqrt{3} \pi \leq I \leq 52 \sqrt{3} \pi \text {.(可能有误) }
$$
$$
28 \sqrt{3} \pi \leq I \leq 52 \sqrt{3} \pi \text {.(可能有误) }
$$
第0题
六．（15 分）估计 $\displaystyle \ln 2$ 的近似值，精确到 0.0001 ．
第0题
四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(\sqrt[n]{x}) \mathrm{d} x$ ．