📝 北京工业大学 2025年数学分析真题

1、（15 分）设 $\displaystyle p>1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2^{p}}+\cdots+\frac{1}{n^{p}}\right\}$ 收敛，且其极限 $a$
满足： $\displaystyle 1+\frac{1}{2^{p-1}(p-1)} \leq a \leq \frac{p}{p-1}$ ．

2、（15 分）证明：方程 $\displaystyle \frac{5}{x-1}+\frac{7}{x-2}+\frac{16}{x-3}=0$ 在 $\displaystyle (1,2)$ 与 $\displaystyle (2,3)$ 至少
各有一个实根．

3、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=2$ ．证明：在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上存在两个 $\displaystyle \xi_{1}$ 与 $\displaystyle \xi_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=1$ ．

4、（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}[b x-f(x)]=0 \text {, 其中 } b \text { 是非零常数. }
$$

则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

5、（15 分）证明：存在常数 $\displaystyle A<1$ ，对任意的正整数 $\displaystyle n>1$ ，均有

$$
\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}<A n^{\frac{3}{2}}
$$

6、（15 分）判别函数列 $\displaystyle \left\{n x(1-x)^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的一致收玫性．

7、（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n+1}$ 的收玫域与和函数．

8、（15 分）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=x-2 y+2 z$ 在条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$
的约束条件下的最大值和最小值．

9、（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+y^{3}\right)}{y^{x}} \mathrm{~d} y$ 的定义域．

10、（15 分）记作 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}, t>0} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
若 $f$ 可微，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．