📝 华中师范大学 2021年高等代数真题
第1题
1．计算行列式
$$
D=\operatorname{det}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)
$$
其中 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(1, \cos \theta_{i}, \cos 2 \theta_{i}, \cos 3 \theta_{i}\right)^{\prime}$ ．
$$
D=\operatorname{det}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)
$$
其中 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(1, \cos \theta_{i}, \cos 2 \theta_{i}, \cos 3 \theta_{i}\right)^{\prime}$ ．
第2题
2．解答如下问题：
（1）已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ 当且仅当存在非零向量
$$
\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \beta=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) .
$$
使得 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ．
（2）对上述矩阵 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ，计算行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(E_{n}+A\right)$ ．
（1）已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ 当且仅当存在非零向量
$$
\alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \beta=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) .
$$
使得 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ．
（2）对上述矩阵 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ，计算行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(E_{n}+A\right)$ ．
第3题
3．已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+(a+1) x^{2}+b x-4$ 与 $\displaystyle g(x)=x^{3}+a x^{2}+(b-2) x-b$ 的首一最大公因式为 $\displaystyle d(x)$ ，且 $\displaystyle d(x)$ 为二次多项式．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值；
（2）求多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=d(x)$ ．
（1）求 $\displaystyle a, b$ 的值；
（2）求多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=d(x)$ ．
第4题
4．（可能有误）已知矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle \lambda E_{4}-A$ 的标准形；
（2）求 $A$ 的若尔当标准形．
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
（1）求 $\displaystyle \lambda E_{4}-A$ 的标准形；
（2）求 $A$ 的若尔当标准形．
第5题
5．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶复方阵，且有 $\displaystyle A B=B A$ ．
（1）设 $\displaystyle \lambda_{1}$ 是 $A$ 的特征值，$\displaystyle V_{\lambda_{1}}$ 是对应的特征子空间，证明：对任意的 $\displaystyle X \in V_{\lambda_{1}}$ ，有 $\displaystyle B X \in V_{\lambda_{1}}$ ；
（2）证明：$\displaystyle A, B$ 有公共的特征向量；
（3）若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 都为对角矩阵．
（1）设 $\displaystyle \lambda_{1}$ 是 $A$ 的特征值，$\displaystyle V_{\lambda_{1}}$ 是对应的特征子空间，证明：对任意的 $\displaystyle X \in V_{\lambda_{1}}$ ，有 $\displaystyle B X \in V_{\lambda_{1}}$ ；
（2）证明：$\displaystyle A, B$ 有公共的特征向量；
（3）若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 都为对角矩阵．
第6题
6．设 $V$ 是实数域上所有 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle A, B \in V$ 是两个给定的 2 阶实矩阵，定义 $V$ 上的映射 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=A X+X B, X \in V$ ．
（1）证明：$f$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right)$（具体数值未知），求 $\displaystyle \operatorname{Im} f$ 及 $\displaystyle \operatorname{Ker} f$ 以及它们的维数．
（1）证明：$f$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right)$（具体数值未知），求 $\displaystyle \operatorname{Im} f$ 及 $\displaystyle \operatorname{Ker} f$ 以及它们的维数．
第7题
7．已知矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
B & C \\
C^{\prime} & O
\end{array}\right)
$$
其中 $B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$C$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵，求 $A$ 的正惯性指数与负惯性指数．
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
B & C \\
C^{\prime} & O
\end{array}\right)
$$
其中 $B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$C$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵，求 $A$ 的正惯性指数与负惯性指数．
第8题
8．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \langle *, *\rangle$ 是 $V$ 上的内积，已知 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有
$$
\langle\varphi(\alpha), \beta\rangle=-\langle\alpha, \varphi(\beta)\rangle .
$$
（1）若 $\displaystyle \varphi$ 为同构映射，证明 $n$ 为偶数；
（2）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，则 $\displaystyle \lambda$ 是零或者纯虚数．
$$
\langle\varphi(\alpha), \beta\rangle=-\langle\alpha, \varphi(\beta)\rangle .
$$
（1）若 $\displaystyle \varphi$ 为同构映射，证明 $n$ 为偶数；
（2）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，则 $\displaystyle \lambda$ 是零或者纯虚数．