📝 华中科技大学 2026年数学分析真题
第1题
1．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{2 k-1}{n^{2}}$ ．
第2题
2．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\left(2026^{x}-1\right) \ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
第3题
3．（10 分）设 $\displaystyle \theta \in(-1,1)$ ，试求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{1+\theta \cos x}{1-\theta \cos x}\right) \frac{1}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
第4题
4．（10 分）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{4 \pi^{2}-x^{2}}}$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的傅里叶级数展开式为
$$
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)
$$
求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ．
$$
f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)
$$
求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)$ ．
第5题
5．（10 分）设点 $\displaystyle A(0,0), B\left(\pi, \pi^{\frac{2}{3}}\right), \Gamma$ 是由 $A$ 沿 $\displaystyle y=x^{\frac{2}{3}}$ 到 $B$ 的曲线段，试求
$$
\int_{\Gamma} \frac{\cos y}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x-\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \sin y \mathrm{~d} y
$$
$$
\int_{\Gamma} \frac{\cos y}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x-\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \sin y \mathrm{~d} y
$$
第6题
6．（10 分）区域 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}, S=\partial \Omega$ ，正方向向外，求曲面积分
$$
\iint_{S} \cdots
$$
（具体数据忘了，是经典的 Gauss 公式应用问题）
$$
\iint_{S} \cdots
$$
（具体数据忘了，是经典的 Gauss 公式应用问题）
第7题
7．（ 15 分）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{2025}{2026}, x_{n+1}=\sin x_{n}(n=1,2, \cdots)$ ．
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ．
（2）试证明：存在正整数 $m$ ，使得存在 $\displaystyle c \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{m}} x_{n}=c$ ．
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ．
（2）试证明：存在正整数 $m$ ，使得存在 $\displaystyle c \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{m}} x_{n}=c$ ．
第8题
8．（15 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0,\left\{b_{n}\right\}$ 的部分和有界，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛。
第9题
9．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可导，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，证明：
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\tan x)-f(\sin x)}{x^{3} \ln (1+x)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)
$$
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\tan x)-f(\sin x)}{x^{3} \ln (1+x)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)
$$
第10题
10．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[a, b]$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left(\int_{a}^{b} e^{-n f(x)} \mathrm{d} x\right)=-\min _{x \in[a, b]} f(x)$ ．
第11题
11．（15 分）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n} \arctan x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．