📝 南京师范大学 2014年高等代数真题

1、（本题满分 15 分）求一个次数最低的实系数多项式，使其被 $\displaystyle x^{2}+1$ 除余式为 $\displaystyle x+1$ ，被 $\displaystyle x^{3}+x^{2}+1$ 除余式为 $\displaystyle x^{2}-1$ ．

2、（本题满分 15 分）设 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足 $\displaystyle |A|=1$ 且 $\displaystyle a_{i j}+a_{j \|}=0, i, j=1,2, \cdots, n$ 。对任意非零实数 $b$ ，计算行列式 $\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}+b & a_{12}+b & \cdots & a_{1 n}+b \\ a_{21}+b & a_{22}+b & \cdots & a_{2 n}+b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1}+b & a_{n 2}+b & \cdots & a_{n n}+b\end{array}\right|$ ．

3、（本题满分 25 分）求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

4．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \lambda$ 为 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的一个实特征值．证明：存在正整数 $\displaystyle k(1 \leq k \leq n)$ 使得 $\displaystyle \left|\lambda-a_{k k}\right| \leq \sum_{j \neq k}\left|a_{k j}\right|$ ．
战、本题满分 20 分）设 $n$ 级矩阵 $A$ 利 $B$ 可交换．证明：秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (B) \geq$ 秩 $\displaystyle (A B)+$ 秩 $\displaystyle (A+B)$ ．

6．（本题满分 20 分）证明：$n$ 维 $\displaystyle (n>2)$ 实线性空间 $V$ 的一个线性变抰 $\displaystyle \sigma$ 必有一维或 2 维不变子空间．

7、（本题满分20分）设 $V$ 为有限维欧氏空间，$s$ 个单位向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 组成 $V$ 中的一个正交向量组，使得对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，都有 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s}\left(\alpha, \alpha_{i}\right)^{2}=|\alpha|^{2}$ ．证明：$\displaystyle V=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right)$ ．

8、（本题满分 20 分）设 $A$ 为 $n$ 级可逆实矩阵。证明：存在 $n$ 级正交矩阵 $P$ 利 $Q$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A Q=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0$ ，且 $\displaystyle \lambda_{i}^{2}$ 为 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的特征值 $\displaystyle (i=1,2, \cdots, n)$ ．