📝 南京师范大学 2021年高等代数真题
第1题
1．（每小题 10 分，共 20 分）计算下列行列式：
（1）$\displaystyle \quad\left|\begin{array}{cccc}2 & -4 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & 4 & -2 \\ 7 & 2 & 5 & 3 \\ 4 & -3 & -2 & 6\end{array}\right|$
（2）$\displaystyle \quad D_{n}=\left|\begin{array}{cccccccc}2 a & a^{2} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 a & a^{2} & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 a & a^{2} & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 a & a^{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 a\end{array}\right|$
（1）$\displaystyle \quad\left|\begin{array}{cccc}2 & -4 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & 4 & -2 \\ 7 & 2 & 5 & 3 \\ 4 & -3 & -2 & 6\end{array}\right|$
（2）$\displaystyle \quad D_{n}=\left|\begin{array}{cccccccc}2 a & a^{2} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 a & a^{2} & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 a & a^{2} & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 a & a^{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 a\end{array}\right|$
第2题
2．（20 分）设 $n$ 是大于 1 的整数，$\displaystyle g(x)=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$ ，证明：$\displaystyle g(x)$ 在有理数域 Q 上不可约当且仅当 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是素数．
第3题
3．（15 分）证明：如果 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵（ $\displaystyle n \geq 2$ ），那么
$$
\text { 秩 }\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{l}
n, \text { 当秩 }(A)=n, \\
\mathbf{1}, \text { 当秩 }(A)=n-\mathbf{1}, \\
\mathbf{0}, \text { 当秩 }(A)<n-\mathbf{1} .
\end{array}\right.
$$
$$
\text { 秩 }\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{l}
n, \text { 当秩 }(A)=n, \\
\mathbf{1}, \text { 当秩 }(A)=n-\mathbf{1}, \\
\mathbf{0}, \text { 当秩 }(A)<n-\mathbf{1} .
\end{array}\right.
$$
第4题
4．（每小题 10 分，共 20 分）线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
& a_{11} x_{1}+ a_{12} x_{2}+\cdots+ \\
& a_{21} x_{1}+ a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
& a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{aligned}\right.
$$
的系数矩阵为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 。设 $\displaystyle \mathbf{M}_{\mathbf{i}}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 中划去第 $\displaystyle \mathbf{i}$ 列剩下的 $\displaystyle (\mathbf{n}-\mathbf{1}) \times(\mathbf{n}-\mathbf{1})$ 矩阵的行列式。证明：
（1）$\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 $\displaystyle \mathbf{n}-\mathbf{1}$ ，那么方程组的解全是 $\displaystyle \left(\mathbf{M}_{\mathbf{1}},-\mathbf{M}_{\mathbf{2}}, \cdots,(-\mathbf{1})^{\mathbf{n}-\mathbf{1}} \mathbf{M}_{\mathbf{n}}\right)$ 的倍数．
$$
\left\{\begin{aligned}
& a_{11} x_{1}+ a_{12} x_{2}+\cdots+ \\
& a_{21} x_{1}+ a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\
& a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0
\end{aligned}\right.
$$
的系数矩阵为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 。设 $\displaystyle \mathbf{M}_{\mathbf{i}}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 中划去第 $\displaystyle \mathbf{i}$ 列剩下的 $\displaystyle (\mathbf{n}-\mathbf{1}) \times(\mathbf{n}-\mathbf{1})$ 矩阵的行列式。证明：
（1）$\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解；
（2）如果 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 $\displaystyle \mathbf{n}-\mathbf{1}$ ，那么方程组的解全是 $\displaystyle \left(\mathbf{M}_{\mathbf{1}},-\mathbf{M}_{\mathbf{2}}, \cdots,(-\mathbf{1})^{\mathbf{n}-\mathbf{1}} \mathbf{M}_{\mathbf{n}}\right)$ 的倍数．
第5题
5．（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{M}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{B}^{\prime} & \mathbf{D}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级正定矩阵，其中 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{r}$ 级矩阵 $\displaystyle (\mathbf{r}<\mathbf{n})$ ．证明： $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{D}, \mathbf{D}-\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{-\mathbf{1}} \mathbf{B}$ 都是正定矩阵。
第6题
6．（每小题 10 分，共 30 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}$ 为一数域， $\displaystyle \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ 表示 $\displaystyle \mathbf{F}$ 上所有迹为 0 的 3 阶矩阵组成的集合。
（1）证明：$\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 是 $\displaystyle M_{3}(F)$ 的一个子空间；
（2）求 $\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 的一组基和维数；
（3）证明： $\displaystyle \mathbf{M}_{3}(\mathbf{F})=<\mathbf{E}_{3}>\oplus \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ ，其中 $\displaystyle <\mathbf{E}_{3}>$ 表示 3 阶单位矩阵 $\displaystyle \mathbf{E}_{3}$ 生成的子空间。
（1）证明：$\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 是 $\displaystyle M_{3}(F)$ 的一个子空间；
（2）求 $\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 的一组基和维数；
（3）证明： $\displaystyle \mathbf{M}_{3}(\mathbf{F})=<\mathbf{E}_{3}>\oplus \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ ，其中 $\displaystyle <\mathbf{E}_{3}>$ 表示 3 阶单位矩阵 $\displaystyle \mathbf{E}_{3}$ 生成的子空间。
第7题
7．（15 分）设 $F$ 为一数域，令 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)=A \alpha, \forall \alpha \in F^{3}$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
求 $\displaystyle F^{3}$ 上线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的所有不变子空间。
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
求 $\displaystyle F^{3}$ 上线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的所有不变子空间。
第8题
8．（每小题 10 分，共 20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，它的 $n$ 个特征值排序成 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明：
（1）对于 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}(\mathbf{R}$ 为实数域）中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，都有
$$
\lambda_{n} \leq \frac{\alpha A \alpha}{|\alpha|^{2}} \leq \lambda_{1}
$$
（2）$\displaystyle \lambda_{n} \leq a_{i i} \leq \lambda_{1}, i=1,2, \cdots, n$ ．
（1）对于 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}(\mathbf{R}$ 为实数域）中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，都有
$$
\lambda_{n} \leq \frac{\alpha A \alpha}{|\alpha|^{2}} \leq \lambda_{1}
$$
（2）$\displaystyle \lambda_{n} \leq a_{i i} \leq \lambda_{1}, i=1,2, \cdots, n$ ．