📝 南京航空航天大学 2026年数学分析真题
第1题
1．计算题．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-x\right) e^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan ^{2} x}{1+e^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-x\right) e^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ．
（2）求积分 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan ^{2} x}{1+e^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
第2题
2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，$\displaystyle f(1)-2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
第3题
3．压缩数列 $\displaystyle \left|x_{n}-x_{n-1}\right| \leq r\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|, r \in(0,1)$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 一定收玫．
第4题
4．解答如下问题：
（1）未知．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}, a_{1}=1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
（1）未知．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}, a_{1}=1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
第5题
5．证明导数有界则一致连续，反之，一致连续导数是否有界？证明或给出反例．
第6题
6．解答如下问题：
（1）判断 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{\alpha}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=x e^{-x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
（1）判断 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{\alpha}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=x e^{-x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．
第7题
7．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．
（1）$\displaystyle [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] \geq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \geq(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1-f(x)} \leq \frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1}[1-f(x)] \mathrm{d} x}$ ．
（1）$\displaystyle [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] \geq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \geq(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1-f(x)} \leq \frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1}[1-f(x)] \mathrm{d} x}$ ．
第8题
8．证明 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left|x-\frac{1}{n}\right|}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}(k=1,2, \cdots)$ 点不可微，求导函数．
第9题
9．已知
$$
f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
$$
求 $\displaystyle f(x, y)$ 偏导存在可微性连续性（？？？），$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点沿方向 $\displaystyle \mathbf{l}=(\cos \theta, \sin \theta)$ 的方向导数．
$$
f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}
$$
求 $\displaystyle f(x, y)$ 偏导存在可微性连续性（？？？），$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点沿方向 $\displaystyle \mathbf{l}=(\cos \theta, \sin \theta)$ 的方向导数．
第10题
10．$\displaystyle z=z(x, y)$ 存在二阶偏导，$\displaystyle u=x^{2}-y^{2}, v=2 x y, z_{x x}+z_{y y}=0$ ，用 $\displaystyle u, v$ 自变量表示．
第11题
11．有一球体半径为 $a$ ，球外有一点 $\displaystyle M(0,0, b)(b>a)$ ，从点 $M$ 作与球相切的圆锥，求球与圆雉所围立体的体积。
第12题
12．求曲面积分
$$
\iint_{\Sigma} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
$\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z, x^{2}+y^{2}=1$ 与坐标平面围成立体的表面，取外侧．
$$
\iint_{\Sigma} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
$\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z, x^{2}+y^{2}=1$ 与坐标平面围成立体的表面，取外侧．