📝 南开大学 2026年数学分析真题
第1题
1、设常数 $\displaystyle a>0$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos (\ln x)}{x^{a+1}} \mathrm{~d} x$ ．
第2题
2、设 $L$ 为闭区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, x^{3} \leq y \leq \sqrt[3]{x}\right\}$ 的边界，取逆时针方向，计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L}\left(x^{3} y+e^{y}+\ln \left(e^{x}+e^{y}\right)\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-2 y+x y^{3}+x e^{y}\right) \mathrm{d} y$ ．
第3题
3、设 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中的有界区域，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上连续，且满足：对任意包含于 $\displaystyle \Omega$ 的开集 $U$ ，象集 $\displaystyle f(U)=\{f(x) \mid x \in U\}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{1}$ 中的开集，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上的最大值必在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 的边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 上取得，即 $\displaystyle \max _{x \in \bar{\Omega}} f(x)=\max _{x \in \overline{\partial \Omega}} f(x)$ ．
第4题
4、令 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n \ln n)^{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续可微．
第5题
5、求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{2^{n}}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} \sin ^{2}\left(\frac{n x}{2}\right)$ 的和函数．
第6题
6、【版本 1】：设数列 $\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lambda_{n} \in\left(\frac{1}{e},+\infty\right),(n=1,2, \cdots)$ ，且
$$
\varliminf_{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}>\frac{1}{e} \text {, 令 } f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\lambda_{n} e^{f_{n-1}(x)},(=1,2, \cdots) \text {. }
$$
证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x)=+\infty$ ．
【版本 2】：设数列 $\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lambda_{n} \in\left(\frac{1}{e},+\infty\right),\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)$且 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}>\frac{1}{e}$ ，令
$$
f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\lambda_{n} e^{f_{n-1}(x)},(=1,2, \cdots)
$$
证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x)=+\infty$ ．
$$
\varliminf_{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}>\frac{1}{e} \text {, 令 } f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\lambda_{n} e^{f_{n-1}(x)},(=1,2, \cdots) \text {. }
$$
证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x)=+\infty$ ．
【版本 2】：设数列 $\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lambda_{n} \in\left(\frac{1}{e},+\infty\right),\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)$且 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow+\infty} \lambda_{n}>\frac{1}{e}$ ，令
$$
f_{0}(x)=x, f_{n}(x)=\lambda_{n} e^{f_{n-1}(x)},(=1,2, \cdots)
$$
证明：对任意的 $\displaystyle x>0$ ，都有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x)=+\infty$ ．
第7题
7、设 $\displaystyle a_{n}=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{2^{x}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} \mathrm{~d} x,(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{4}{5}$ ．
第8题
8、证明 $\displaystyle \forall x>0, \prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)$ 都收玫，并求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)\right)}{\sqrt{x}}$ ．