📝 厦门大学 2021年高等代数真题
第1题
1．填空题
（1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
（2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足
$$
\sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} .
$$
则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式．
（8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
（2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足
$$
\sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} .
$$
则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．
（6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
（7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式．
（8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第2题
2．已知 $A$ 为 3 阶实矩阵，其每行元素之和为 6 ，且 $\displaystyle \alpha_{1}=(,,)^{\prime}, \alpha_{2}=(,,)^{\prime}$ 为方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解。
（1）求 $A$ 的特征值与特征向量；
（2）求 $A$ 与 $\displaystyle (A-3 E)^{4}$ ．
（1）求 $A$ 的特征值与特征向量；
（2）求 $A$ 与 $\displaystyle (A-3 E)^{4}$ ．
第3题
3．已知 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为 $n$ 维实列向量，且当 $\displaystyle i \neq j$ 时，有 $\displaystyle X_{i}^{\prime} A X_{j}=0$ ，证明： $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关。
第4题
4．设 $P$ 为数域，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1, A$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle f(A) g(A)=O$的充要条件是 $\displaystyle r(f(A))+r(g(A))=n$ ．
第5题
5．设 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 的秩均为 1 ，且 $A$ 与 $B$ 的迹相同，证明：$A$ 相似于 $B$ ．
第6题
6．设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}, W_{3}$ 均为有限维线性空间 $V$ 的子空间，且
$$
W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{3}, W_{1} \cap W_{2}=W_{2} \cap W_{3}, W_{1} \subseteq W_{2} .
$$
证明 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ．
$$
W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{3}, W_{1} \cap W_{2}=W_{2} \cap W_{3}, W_{1} \subseteq W_{2} .
$$
证明 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ．
第7题
7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，且 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus W$ ，证明：
$$
V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \varphi .
$$
$$
V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \varphi .
$$