📝 哈尔滨工业大学 2012年高等代数真题

1．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}0 & a \\ b & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个线性变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=A X, \forall X \in W$ 。
（1）证明：$W$ 是 $P$ 上的线性空间；
（2）证明：$\displaystyle \tau$ 是 $W$ 上的线性变换：
（3）是否存在 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \tau$ 在该基下的矩阵是对角阵，为什么？

2．求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$ 为 Jordan 标准形。

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, B \in P^{n \times m}, C \in P^{m \times n}, A$ 可逆。证明分块阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & O\end{array}\right)$可逆的充要条件 $\displaystyle C A^{-1} B$ 可逆。

4．$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A X$ 是一实二次型，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是对称矩阵 $A$ 的特征多项式的根，且 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。
（1）证明：对任一 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，都有 $\displaystyle \lambda_{1} \leq f(X) \leq \lambda_{n}$ ；
（2）证明：存在 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，使得 $\displaystyle f(X)=\lambda_{n}$ 。

5．欧氏空间 $V$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 称为反对称的。如果对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ， $\displaystyle (\sigma \alpha, \beta)=-(\alpha, \sigma \beta)$ 。证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 为反对称的充要条件是，$\displaystyle \sigma$ 在一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵；
（2）如果 $\displaystyle V_{1}^{4}$ 是反对称线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，则 $\displaystyle V_{1}^{1}$ 也是。

6．已知列向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的秩是3，

$$
\beta=\alpha_{1}+3 \alpha_{2}+\alpha_{3}+4 \alpha_{4} ; \quad \beta=5 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}+2 \alpha_{4}
$$

求方程组 $\displaystyle x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4}=\beta$ 的通解。

7．设 $P$ 是个数域，$\displaystyle f(x), g(x), q(x), r(x) \in P[x], f(x)=g(x) q(x)+r(x)$ ，
$\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 。证明：$\displaystyle (g(x) r(x), g(x)+r(x))=1$ 。

8．设 $\displaystyle A, B \in R^{n \times n}$ 是两个正交矩阵，若 $\displaystyle A+B$ 可逆，证明 $\displaystyle |A|=|B|$ 。

9．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, ~ \lambda_{0} \in P$ 是 $A$ 的 $m$ 重特征根，证明：对应于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}, A$ 至多有 $m$ 个线性无关的特征向量。

10．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, ~ B \in P^{n \times m}$ 。证明：除零特征值外，$\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$的特征值相同，重数也相同。