📝 哈尔滨工业大学 2014年高等代数真题

1．设多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 满足 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明对于任意正整数 $\displaystyle m, n$ ，都有

$$
\left(f^{m}(x) g^{n}(x), f^{m}(x)+g^{n}(x)\right)=1
$$

2．设 $p$ 是奇素数，问有理多项式 $\displaystyle x^{p}+p x+1$ 在有理数域上是否可约。为什么？

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, \beta \in P^{m \times 1}, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A, \beta)=r$ ，证明非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的解（向量）集合的秩是 $\displaystyle n-r+1$ 。

4．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 级方阵，若 $\displaystyle A B=A-B$ ，证明：$\displaystyle E_{n}+A$ 可逆，并且 $\displaystyle B A=A B$ 。

5．设 $\displaystyle g_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), h_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),(i=1,2, \cdots, p, j=1,2, \cdots, q)$ 都是 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的一次齐次多项式。二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right)=g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+\cdots+g_{p}^{2}-h_{1}^{2}-h_{2}^{2}-\cdots-h_{q}^{2}$ 。证明： $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ 。

6．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, B \in P^{n \times m}, m>n, \lambda \in P$ 。证明

$$
\left|\lambda E_{m}-\lambda B\right|=\lambda^{m-n}\left|\lambda E_{n}-B A\right|
$$

7．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), C(A)=\left\{B \in P^{3 \times 3} \mid A B=B A, B \in P^{3 \times 3}\right\}$ 。
（1）证明：$\displaystyle C(A)$ 构成 $\displaystyle P^{3 \times 3}$ 的一个子空间；
（2）求 $\displaystyle C(A)$ 的经数和一组基。

8．知

$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
-a_{n} & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_{z} & a_{n}
\end{array}\right)
$$

求 $\displaystyle I I_{n}-A$ 的不变因子。

9．设矩阵 $\displaystyle A \in P^{m \times n}, B \in P^{n \times p}, C \in P^{p \times s}$ ，试证

$$
\operatorname{rank}(A B)+\operatorname{rank}(B C)-\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A B C)
$$

10．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 是任意正整数，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，如果

$$
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}\left(A^{2}\right) .
$$

（1）证提：文次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{2} X=0$ 同解。
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{k}\right)=\operatorname{rank}(A)$ 。