📝 哈尔滨工业大学 2025年高等代数真题
第1题
1．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：$\displaystyle r(A)=r$ 的充分必要条件为存在 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $B$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ 满足 $\displaystyle r(B)=r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A=B C$.
第2题
2．计算行列式
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2}+1 & \cdots & a_{1} a_{n}+1 \\
a_{2} a_{1}+1 & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n}+1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n} a_{1}+1 & a_{n} a_{2}+1 & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right|
$$
$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{1}^{2} & a_{1} a_{2}+1 & \cdots & a_{1} a_{n}+1 \\
a_{2} a_{1}+1 & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n}+1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n} a_{1}+1 & a_{n} a_{2}+1 & \cdots & a_{n}^{2}
\end{array}\right|
$$
第3题
3．设 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $F$ 上次数大于等于 1 的多项式，证明下列说法等价
（1）$\displaystyle p(x)$ 为不可约多项式．
（2）对任意的 $\displaystyle f(x), g(x) \in F[x]$ ，如果 $\displaystyle p(x) \mid f(x) g(x)$ ，则有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle p(x) \mid g(x)$ ．
（3）对任意的 $\displaystyle f(x) \in F[x]$ ，都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle (p(x), f(x))=1$ ．
（1）$\displaystyle p(x)$ 为不可约多项式．
（2）对任意的 $\displaystyle f(x), g(x) \in F[x]$ ，如果 $\displaystyle p(x) \mid f(x) g(x)$ ，则有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle p(x) \mid g(x)$ ．
（3）对任意的 $\displaystyle f(x) \in F[x]$ ，都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle (p(x), f(x))=1$ ．
第4题
4．讨论当 $\displaystyle \lambda$ 取何值时，如下方程有解，并求解
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+\lambda x_{2}+\lambda x_{3}+x_{4}=0 \\
2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\
3 x_{1}+(\lambda+2) x_{2}+(\lambda+4) x_{3}+4 x_{4}=1
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+\lambda x_{2}+\lambda x_{3}+x_{4}=0 \\
2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\
3 x_{1}+(\lambda+2) x_{2}+(\lambda+4) x_{3}+4 x_{4}=1
\end{array}\right.
$$
第5题
5．设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有解的充分必要条件是齐次线性方程组 $\displaystyle A^{\prime} Y=\mathbf{0}$ 的任意解 $\displaystyle \alpha$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta=0$.
第6题
6．设实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 满足 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1$ ，求
$$
y=x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+x_{4} x_{1}-2\left(x_{1} x_{3}+x_{2} x_{4}\right)
$$
的取值范围．
$$
y=x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+x_{4} x_{1}-2\left(x_{1} x_{3}+x_{2} x_{4}\right)
$$
的取值范围．
第7题
7．设实数序列 $\displaystyle x_{0}=1, x_{1}=12, x_{2}=-10, x_{3}, x_{4}, \cdots, x_{n}, \cdots$ 满足
$$
x_{n+3}+30 x_{n}=31 x_{n+1}, n \geq 0
$$
求 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式．
$$
x_{n+3}+30 x_{n}=31 x_{n+1}, n \geq 0
$$
求 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的通项公式．
第8题
8．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}-5 & 5 \\ -6 & 6\end{array}\right)$ ，求满足 $\displaystyle A B+B A=A B A$ 的所有复矩阵 $B$ ．
第9题
9．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-6 \lambda^{2}+32$ ，求 $A$ 的若尔当标准形．
第10题
10．设 $a$ 为实数，矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
0 & a \\
1 & 1
\end{array}\right)
$$
若存在正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为上三角的实矩阵，求 $a$ 的取值范围．
$$
A=\left(\begin{array}{ll}
0 & a \\
1 & 1
\end{array}\right)
$$
若存在正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为上三角的实矩阵，求 $a$ 的取值范围．