📝 哈尔滨工程大学 2013年高等代数真题

1．设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-10 x^{2}+1, g(x)=x^{4}-4 \sqrt{2} x^{3}+6 x^{2}+4 \sqrt{2} x+1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 的首 1 最大公因式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{lllll}5 & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 5 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 5 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 5\end{array}\right|$ 中，第一行元素代数余子式之和为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 2 \\ 8 & 0 & 4 \\ -10 & 0 & -5\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2015}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．设 $A$ 为 3 阶方阵，$\displaystyle |A|=2$ ，则 $\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A^{2}+3 A^{*} & 2 A^{*} \\ A & 0\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \left(M^{-1}\right)^{*}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．多项式空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 上定义内积 $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x$ ，则 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 的一组标准正交基为 $\displaystyle f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，
基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), A_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ；
基（ I ）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), B_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ．
则在基（I）与基（I）下有相同坐标的矩阵的为 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ （ $k$ 为任意常数）．

7．设 $A$ 为 3 阶半正定阵，向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性无关，若 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=\beta^{T} A \beta=0$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=2$ ，则二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} A x$ 经正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化成的标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle 3 A^{8}-9 A^{7}+6 A^{6}+A^{5}-3 A^{4}+2 A^{3}+2 A+E=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle -1,-2,-2$ ，则 $\displaystyle \left|\left(\frac{1}{2} A\right)^{*}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．