📝 江苏师范大学 2026年高等代数真题

1．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明：$\displaystyle f(x) \mid g(x) \Leftrightarrow \forall h(x) \in P[x]$ ，有 $\displaystyle (f(x)$ ， $\displaystyle h(x)) \mid(g(x), h(x))$ 。

2．计算下列行列式：

$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
& & b_{1} & a_{1} \\
& \ddots & \ddots & \\
& \ddots & b_{2} & \\
b_{n-1} & a_{n-1} &
\end{array}\right|
$$

3．证明：$\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{T} A X=0$ 的解空间相同。

4．设 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$C$ 为 $n$ 阶方阵，$D$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶方阵。证明：矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}A & D \\ B & C\end{array}\right)$ 可逆的充分必要条件是，$\displaystyle A, B, C$ 均可逆，并在可逆时用 ，$\displaystyle A, B, C$ 及其逆矩阵表示 $\displaystyle M^{-1}$ 。

5．设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ 是一个实二次型，若有实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 使得 $\displaystyle X_{1}^{T} A X_{1}> 0, X_{2}^{T} A X_{2}<0$ ，证明：存在实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{0} \neq 0$ ，使得 $\displaystyle X_{0}^{T} A X_{0}=0$ 。

6．已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ 在正交变换 $\displaystyle x=Q y$ 的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $Q$ 的第 3 列列向量为 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T}$ ，求正交矩阵 $Q$ 。

7．设，$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，且满足 $\displaystyle |A B|=-1$ ，证明：$\displaystyle |A+B|=0$ 。

8．设 $A$ 为欧式空间 $V$ 上的对称变换。证明：$\displaystyle (A V)^{\perp}=\operatorname{ker} A$ 。

9．设 $A$ 是数域 $P$ 上的一个 $n$ 阶可逆方阵，$A$ 的前 $r$ 个行向量组成的矩阵为 $\displaystyle A_{1}$ ，后 $\displaystyle n -r$ 个行向量组成的矩阵为 $\displaystyle A_{2}, n$ 元线性方程组 $\displaystyle A_{1} x=0$ 与 $\displaystyle A_{2} x=0$ 的解空间分别为，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 。