📝 集美大学 2024年数学分析真题
第1题
1、已知 $\displaystyle y=x^{2} \ln x$ ，求 $\displaystyle \mathrm{d}^{n} y$ ．
第2题
2、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 n+1)}{n} x^{2 n}$ 的收玫域与和函数．
第3题
3、计算反常积分 $\displaystyle I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}+3 e^{-x}+1} \mathrm{~d} x$ ．
第4题
4、计算二重积分 $\displaystyle \mathbf{I}=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq x+y\right\}
$$
$$
D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq x+y\right\}
$$
第5题
5．讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在原点处的连续性和可微性。
第6题
6．讨论当 $p$ 取何值时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ 发散？条件收敛？绝对收敛？
第7题
7、已知 $\displaystyle f(\mathbf{x})$ 在 $\displaystyle [\mathbf{a}, \mathbf{b}]$ 上连续，在 $\displaystyle (\mathbf{a}, \mathbf{b})$ 上二阶可导，且
$$
f(b)=0, F(x)=(x-a)^{2} f(x)
$$
证明：存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle F^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．
$$
f(b)=0, F(x)=(x-a)^{2} f(x)
$$
证明：存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle F^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．
第8题
8、已知 $\displaystyle a_{1}=7, a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}},(n=1,2, \cdots)$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限存在，并求其值．
第9题
9、已知 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ ，证明：在 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 上距离原点最近的点的法线经过原点．
第10题
10、证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2} \ln n}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
第11题
11、设函数 $\displaystyle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的偏导数，且对于任意的光滑封闭曲面 $S$ ，均有
$$
\iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上，有 $\displaystyle P_{x}+Q_{y}+R_{z} \equiv 0$ ．
$$
\iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0
$$
证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上，有 $\displaystyle P_{x}+Q_{y}+R_{z} \equiv 0$ ．