已知函数 $f(x, y)=\ln (y+|x \sin y|)$ ，则 （ ）
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x\gt 0\end{array}\right.$ 的原函数为（ ）
已知微分方程式 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty, \infty)$ 上有界，则（ ）
（4）已知 $a_{n}\lt b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 。若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，则＂$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛＂是＂$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛＂的
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵， $\boldsymbol{M}^{*}$ 为矩阵 $\boldsymbol{M}$ 的伴随矩阵，则 $\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right]^{*}=$
二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(x_{1}+x_{3}\right)^{2}-4\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$ 的规范形为
已知向量 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$，$\alpha_2=\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$，$\beta_1=\begin{pmatrix}2 \\ 5 \\ 9\end{pmatrix}$，$\beta_2=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$。若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，也可由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示，则 $\gamma=$
设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $E(|X-E X|)=$
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $N\left(\mu_{1}, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，$Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}$ 为来自总体 $N\left(\mu_{2}\right.$ ， $\left.2 \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，且两样本相互独立．记 $\bar{X}=\displaystyle\frac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_{i}, \bar{Y}=\displaystyle\frac{1}{m} \displaystyle\sum_{i=1}^{m} Y_{i}, S_{1}^{2}=\displaystyle\frac{1}{n-1} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}\right. -\bar{X})^{2}, S_{2}^{2}=\displaystyle\frac{1}{m-1} \displaystyle\sum_{i=1}^{m}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}$ ，则
设 $X_{1}, X_{2}$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma(\sigma\gt 0)$ 是未知参数．记 $\hat{\sigma}=a \mid X_{1}- X_{2} \mid$ ，若 $E(\hat{\sigma})=\sigma$ ，则 $a=$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty} x^{2}\left(2-x \sin \displaystyle\frac{1}{x}-\cos \displaystyle\frac{1}{x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $f(x, y)$ 满足 $\mathrm{d} f(x, y)=\displaystyle\frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}, f(1,1)=\displaystyle\frac{\pi}{4}$ ，则 $f(\sqrt{3}, 3)=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}=$ $\_\_\_\_$。
设某公司在 $t$ 时刻的资产为 $f(t)$ ，从 0 时刻到 $t$ 时刻的平均资产等于 $\displaystyle\frac{f(t)}{t}-t$ ．假设 $f(t)$ 连续且 $f(0)=0$ ，则 $f(t)=$ $\_\_\_\_$ ．
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x_{1}+x_{3}=1, \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=0, \\ x_{1}+2 x_{2}+a x_{3}=0, \\ a x_{1}+b x_{2}=2\end{array}\right.$ 有解，其中 $a, b$ 为常数．若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$ ，则 $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim B(1, p), Y \sim B(2, p), p \in(0,1)$ ，则 $X+Y$ 与 $X-Y$ 的相关系数为 $\_\_\_\_$。
（本题满分 10 分） 已知可导函数 $y=y(x)$ 满足 $a \mathrm{e}^{x}+y^{2}+y-\ln (1+x) \cos y+b=0$ ，且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$ ． （I）求 $a, b$ 的值； （II）判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点．
（本题满分 12 分） 已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant \displaystyle\frac{1}{x \sqrt{1+x^{2}}}\right., x \geqslant 1\right\}$ ． （I）求 $D$ 的面积； （II）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
（本题满分 12 分） 已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D}\left|\sqrt{x^{2}+y^{2}}-1\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（本题满分 12 分） 设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数，证明： （I）若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=\displaystyle\frac{1}{a^{2}}[f(a)+f(-a)]$ ； （II）若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得 $\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geqslant \displaystyle\frac{1}{2 a^{2}}|f(a)-f(-a)|$ ．
（本题满分 12 分） 设矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足：对任意 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均有 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}+x_{3} \\ x_{2}-x_{3}\end{array}\right)$ ． （I）求 $\boldsymbol{A}$ ； （II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与对角矩阵 $\boldsymbol{\L\lambda}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{\L\lambda}$ ．
（本题满分 12 分） 设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)^{2}},-\infty\lt x\lt+\infty$ ，令 $Y=\mathrm{e}^{X}$ ． （I）求 $X$ 的分布函数； （II）求 $Y$ 的概率密度； （III）$Y$ 的期望是否存在？