幂级数及其收敛性（阿贝尔定理、收敛半径、收敛区间）

### 第126题 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=2$ 处条件收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1}(x-1)^{n}$ 在 $\displaystyle x=\frac{5}{2}$ 处 （A）绝对收敛． （B）条件收敛． （C）必发散． （D）敛散性由 $\left\{a_{n}\right\}$ 确定．

### 第167题 设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+2 x-2 x^{2}}$ ，试证级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 绝对收敛． 讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+(-1)^{n}}}$ 的玫散性，若收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛．

### 第171题 求下列幂级数的和函数： （1）$\sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n-1}} x^{n-1}$ ； （3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(1+\frac{1}{n(2 n-1)}\right) x^{2 n}$ ； （4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^{2}-1} x^{n}$ ． 锃估

### 第51题 若幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a^{n^{2}} x^{n}(a>0)$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty)$ ，则 $a$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．