📝 中国科学技术大学 2022年强基真题

在 $\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle A=2 \sqrt{B C}, \mathrm{a}=\mathrm{b}(\mathrm{b}+\mathrm{c})=1$ ，求 $\displaystyle \triangle A B C$ 的面试。（20 分）

已知 $\displaystyle \mathrm{m}, \mathrm{n} m, n \in N^{*}$ ，求 $\displaystyle \mathrm{m}(\mathrm{n}+9)\left(2 n^{2}+m+9\right)$ 素因子个数的最小值。（20 分）

已知 $\displaystyle f(x)=x^{4}+p x^{3}+q$（20分） （1）求 $\displaystyle \mathrm{p}, \mathrm{q}$ 满足什么条件 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})\gt 0$ 恒成立； （2）若存在 $\displaystyle \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \mathrm{a}_{4} \in R$ ，使得 $\displaystyle \mathrm{f}(x)=\left(x-\mathrm{a}_{1}\right)\left(x-\mathrm{a}_{2}\right)\left(x-\mathrm{a}_{3}\right)\left(x-\mathrm{a}_{4}\right)$ ，则 p ， q 满足什么条件？

90 位学生参加面试，学生来自 A，B，C三校，其中 A 校 20 人，B 校 30 人，C 校 40 人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽取一位，面试完毕以后在选择下一位面试，求 A 校学生先于其他两校学生完成面试的概率。（20分）

$\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ 是五个矩形区域（边平行于坐标轴），证明：总能找到两个集合，使得剩下三个集合的交集包含于这两个集合并集，例如 $\displaystyle \left(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}\right) \subset\left(A_{4} \cap A_{5}\right)$ 。（20分）