📝 南京大学 2023年强基真题

从 $\displaystyle 1,2, \cdots, n$ 中随机抽取一个数 $\displaystyle X$ ，再从 $\displaystyle 1,2, \cdots, X$ 中随机抽取一个数 $\displaystyle Y$ ，求 $\displaystyle Y$ 的数学期望。

在 $\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle A B=7, B C=9, C A=8$ ，内切圆 $\displaystyle \odot I$ 与 $\displaystyle B C, C A, A B$ 分别切于 $\displaystyle D, E, F$ ，过 $\displaystyle D$ 作 $\displaystyle D P \perp E F$ 于 $\displaystyle P$ ，求 $\displaystyle P I$ 。

求不定方程 $\displaystyle x^{2}-y!=2023$ 的全部正整数解。

已知正整数 $\displaystyle n, q=2^{2^{n}}+3^{2^{n}}, m=2^{n+1}$ ，证明：$\displaystyle m!\mid \prod_{k=1}^{m-1}\left(q^{k}-1\right)$ 。