第2题
已知 $\displaystyle x, y \in[0,1]$ ，则 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1$ 且 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leq 1$ 的概率是？
第4题
$\displaystyle \frac{\sin ^{4} \alpha}{\sin ^{2} \beta}+\frac{\cos ^{4} \alpha}{\cos ^{2} \beta}=1$ ，求 $\displaystyle \frac{\sin ^{4} \beta}{\sin ^{2} \alpha}+\frac{\cos ^{4} \beta}{\cos ^{2} \alpha}=$ ？
第5题
满足不定方程 $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{30}$ ，且 $\displaystyle x \leq y$ 的正整数解的组数？
第6题
已知实系数方程 $\displaystyle a x^{2}+b x+c=0$ 的两根 $\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 满足 $\displaystyle \alpha$ 是虚数，$\displaystyle \frac{\alpha^{2}}{\beta}$ 是实数，则 $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}=$（这是 2015年北京大学自主招生题）。
第7题
已知 $\displaystyle a\gt 0, b\gt 0, x+y=c$ ，则 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+a^{2}}+\sqrt{y^{2}+b^{2}}$ 的最小值。
第8题
$\displaystyle f(n)=\sum_{k=1}^{n}\left(k^{2}+3 k+2, n\right)$ ，求 $\displaystyle f(100)$ 。
第9题
三角形的三边记为 $\displaystyle a, b, c$ ，满足 $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=\alpha, a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}=\beta$ ，求三角形面积。
第10题
用 $\displaystyle a_{n}$ 表示 $\displaystyle n$ 在三进制下的各数字之和，例如 $\displaystyle a_{7}=3, a_{9}=1$ ，记 $\displaystyle S=\left\{a_{n} \mid a_{n}=5,1 \leq n \leq 2023\right\}$ ，求 $\displaystyle |S|$ 。
第11题
记 $\displaystyle S=\{1,2, \cdots, 2023\}, a\lt b \in S$ ，记 $\displaystyle f(x)=\left\{\frac{a}{b} x\right\}$ ，对于函数 $\displaystyle f: S \rightarrow[0,1)$ ，以下说法正确的是 ）。