📝 北京工业大学 2026年数学分析真题

1．应用柯西准则证明 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right\}$ 收敛并求极限．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有连续三阶导数，且 $\displaystyle f(-1)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，证明：在 $\displaystyle (-1,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．

3．叙述致密性定理并证明：设 $\displaystyle D_{1}, D_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的两个非空闭集且 $\displaystyle D_{1}$ 有界，则存在 $\displaystyle x_{0} \in D_{1}, y_{0} \in D_{2}$ ，使

$$
\left\|x_{0}-y_{0}\right\|=\inf _{\substack{x \in D_{1} \\ y \in D_{2}}}\|x-y\|
$$

其中 $\displaystyle \|\cdot\|$ 表示 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的欧氏距离．

4．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ 的收敛域与和函数．

5．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$ 和 $\displaystyle f_{y x}^{\prime \prime}(0,0)$ ．

6．证明 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1-x)^{2}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛．

7．设抛物线 $\displaystyle y=a x^{2}+b x$ 满足当 $\displaystyle x \in[0,1]$ 时，$\displaystyle y \geq 0$ ，已知改抛物线与 $x$ 轴及直线 $\displaystyle x=1$ 所围图形的面积为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ，试确定 $\displaystyle a, b$ 使该抛物线与直线 $\displaystyle x=1$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小．

8．利用三重积分计算椭球体 $\displaystyle \Omega:(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2} \leq 1$ 的体积．

9．设一致连续的非负函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

10．计算 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{2 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{x \cos ^{2} x}+\frac{\mathrm{d} z \mathrm{~d} x}{\cos ^{2} y}-\frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{z \cos ^{2} z}, \Sigma: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ，取外侧．