📝 北京科技大学 2025年高等代数真题

1．（15 分）设齐次线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
(1+a) x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n}=0 \\
x_{1}+(2+a) x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n}=0 \\
\quad \cdots \cdots \\
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+(n+a) x_{n}=0
\end{array}\right.
$$

其中 $\displaystyle n \geq 2$ ．问：$a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求其通解．

2．（20 分）已知 $A$ 为 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 元列向量，若矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$ 的秩．

3．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其元素 $\displaystyle a_{i j}$ 都为整数 $\displaystyle (i, j=1,2, \cdots, n)$ ．令

$$
d=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11}-\frac{1}{k} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22}-\frac{1}{k} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots & a_{n n}-\frac{1}{k}
\end{array}\right| .
$$

这里 $k$ 为正整数且 $\displaystyle k \geq 2$ ．证明：$\displaystyle d \neq 0$ ．

4．（15 分）设 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 为所有 3 阶实方阵按矩阵的加法及实数与矩阵的数量乘法构成的实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间．已知 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 的两个子空间

$$
W_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}
a & 0 & c \\
a & 0 & 0 \\
c & b & 0
\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}, W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}
x & 0 & 0 \\
0 & y & 0 \\
0 & 0 & z
\end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in \mathbb{R}\right\} .
$$

（1）求和空间 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 的维数和一组基．
（2）记 $\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ，求子空间 $\displaystyle W_{3}$ ，使得 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})=W_{3} \oplus W$ ，并说明理由．

5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。

6．（15 分）设 $B$ 为正定矩阵，$\displaystyle A-B$ 为半正定矩阵．证明：
（1）满足 $\displaystyle |A-2 \lambda B|=0$ 的所有 $\displaystyle \lambda$ 都不小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（2）$\displaystyle |A| \geq|B|$ ．

7．（15 分）设多项式 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right)\left(x-a_{3}\right)\left(x-a_{4}\right)-1$ ，其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 是 4 个互不相同的整数．问：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是否可约？

8．（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle n \geq 2$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，若有 $\displaystyle \xi \in V$ ，满足 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0, \sigma^{n}(\xi)=0$ ，求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{array}\right) .
$$

9．（20 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，若 $\displaystyle \alpha$ 为任意的 $n$ 维非零列向量，$\displaystyle B=A \alpha \alpha^{T}$ ．
（1）证明：$\displaystyle \left|\lambda E_{n}-B\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\alpha^{T} A \alpha\right), E_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。
（2）求 $B$ 最大的特征值 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ ．
（3）求 $B$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ 的特征子空间的维数与一组基．