📝 华东师范大学 2017年高等代数真题

1．（20 分）当实数 $\displaystyle \lambda$ 为何值时，方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
(\lambda-2) x_{1}-x_{2}-x_{3}=-2 \\
4 x_{1}+(\lambda-1) x_{2}+4 x_{3}=7 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}=2
\end{array}\right.
$$

有唯一解，无解，有无穷多个解；有解时，请求出求全部解．

2．（12 分）已知二次型

$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}
$$

正定，求 $\displaystyle \lambda$ 的取值范围．

3．（20 分）已知实对称矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{lll}
4 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 1 \\
1 & 1 & 4
\end{array}\right),
$$

求正交矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 为对角矩阵。

4．（20分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是数域，
（1）证明：一元多项式 $\displaystyle x^{2}+x^{3}$ 不能写成另一多项式的平方；
（2）证明：二元多项式 $\displaystyle y^{2}-x^{2}-x^{3}$ 是二元多项式环 $\displaystyle K[x, y]$ 中的不可约多项式，也就是说它不能写成两个非常数多项式的乘积。

5．（13 分）设 $\displaystyle A, B$ 是同阶方阵，若 $A$ 可逆，证明 $\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$ 相似。问当 $A$ 不可逆时，结论是否成立？

6．（10 分）给定 $\displaystyle m+n$ 阶分块方阵

$$
A=\left(\begin{array}{cc}
0_{m} & B_{m \times n} \\
C_{n \times m} & 0_{n}
\end{array}\right),
$$

证明：若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle -\lambda$ 也为 $A$ 的特征值．

7．（20 分）（1）求证： 3 阶复矩阵 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件是它们有相同的特征多项式和极小多项式；
（2）举例说明 4 阶复矩阵即使有相同的特征多项式和极小多项式也不一定相似。

8．（15 分）设 $\displaystyle f: U \rightarrow V, g: V \rightarrow W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上有限维的线性映射，证明：

$$
\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} f)+\operatorname{dim}(\operatorname{Im} f \cap \operatorname{Ker} g)=\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(g f))
$$

9．（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的非零多项式，$A$ 是 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ 阶方阵。
（1）证明：若 $\displaystyle g(A)$ 可逆，则

$$
f(A) g(A)^{*}=g(A)^{*} f(A)
$$

其中 $\displaystyle g(A)^{*}$ 为 $\displaystyle g(A)$ 的伴随矩阵。
（2）$\displaystyle g(A)$ 不可逆时，结论是否成立？