📝 华东师范大学 2020年高等代数真题
第1题
1．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & b \\ a & 2 / 3 & 0\end{array}\right)$ ，求所有 $\displaystyle a, b$ 的值，使得 $A$ 是幂零矩阵。（矩阵 $A$ 称为幂零矩阵是指存在正整数 $k$ 使得 $\displaystyle A^{k}=0$ ．）
第2题
2．（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ ，是线性空间 $V$ 中的 $\displaystyle 2 n$ 个向量．已知对任意的 $\displaystyle 1 \leqslant k \leqslant n$ 以及 $\displaystyle 1 \leqslant i_{1}<\cdots<i_{k} \leqslant n, \alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \ldots, \alpha_{i_{k}}$ 线性相关当且仅当 $\displaystyle \beta_{i_{1}}, \beta_{i_{2}}, \ldots, \beta_{i_{k}}$ 线性相关。求证向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 的秩与向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ 的秩相同。
第3题
3．（15 分）已知 $\displaystyle n \geqslant 2, a, b \in \mathbb{C}$ ．求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a & a & a & a & a & \cdots \\ a & b & b & b & b & \cdots \\ a & b & a & a & a & \cdots \\ a & b & a & b & b & \cdots \\ a & b & a & b & a & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{array}\right)_{n \times n}$ 的行列式．
第4题
4．（25 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{7}{4} & -\frac{3}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\ -\frac{3}{4} & \frac{7}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} \\ \frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{7}{2}\end{array}\right)$ ．
（1）．求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 是对角矩阵。
（2）．求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{7}{4} x_{1}^{2}+\frac{7}{4} x_{2}^{2}+\frac{7}{2} x_{3}^{2}-\frac{3}{2} x_{1} x_{2}-\frac{\sqrt{6}}{2} x_{2} x_{3}+\frac{\sqrt{6}}{2} x_{1} x_{3}$ 在单位球面 $\displaystyle S^{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in\right. \left.\mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}$ 上能取到的最大值，并求出能取到该最大值的所有 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ ．
（1）．求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 是对角矩阵。
（2）．求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{7}{4} x_{1}^{2}+\frac{7}{4} x_{2}^{2}+\frac{7}{2} x_{3}^{2}-\frac{3}{2} x_{1} x_{2}-\frac{\sqrt{6}}{2} x_{2} x_{3}+\frac{\sqrt{6}}{2} x_{1} x_{3}$ 在单位球面 $\displaystyle S^{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in\right. \left.\mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}$ 上能取到的最大值，并求出能取到该最大值的所有 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ ．
第5题
5．（15 分）已知矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 满足
$$
A+A^{2}+\frac{1}{2!} A^{3}+\frac{1}{3!} A^{4}+\cdots+\frac{1}{2019!} A^{2020}=0
$$
求证：$A$ 可对角化．
$$
A+A^{2}+\frac{1}{2!} A^{3}+\frac{1}{3!} A^{4}+\cdots+\frac{1}{2019!} A^{2020}=0
$$
求证：$A$ 可对角化．
第6题
6．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，令 $\displaystyle L(A, B)=\left\{X \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A X B=0\right\}$ 。
（1）．验证 $\displaystyle L(A, B)$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间．
（2）．设 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r, \operatorname{rank}(B)=s$ ．求 $\displaystyle \operatorname{dim} L(A, B)$ 。（用 $\displaystyle n, r, s$ 表示）。
（1）．验证 $\displaystyle L(A, B)$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间．
（2）．设 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r, \operatorname{rank}(B)=s$ ．求 $\displaystyle \operatorname{dim} L(A, B)$ 。（用 $\displaystyle n, r, s$ 表示）。
第7题
7．（15 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 是二阶复方阵，且 $\displaystyle A, B, C$ 在 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 中线性无关。求证：存在复数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$使得 $\displaystyle x_{1} A+x_{2} B+x_{3} C$ 是可逆矩阵。
第8题
8．（20 分）（1）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ．求证：若存在可逆矩阵 $\displaystyle B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，使得 $\displaystyle A=B^{-1} \bar{B}$ ，则 $\displaystyle A^{-1}=\bar{A}$ 。
（2）．设可逆矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 满足 $\displaystyle A^{-1}=\bar{A}$ ．求证：存在可逆矩阵 $\displaystyle B \in\{a \bar{A}+b E \mid a, b \in \mathbb{C}\}$ 使得 $\displaystyle A=B^{-1} \bar{B}$ 。（ $\displaystyle \bar{A}$ 为 $A$ 的共轭矩阵，$E$ 是指单位矩阵。）
（2）．设可逆矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 满足 $\displaystyle A^{-1}=\bar{A}$ ．求证：存在可逆矩阵 $\displaystyle B \in\{a \bar{A}+b E \mid a, b \in \mathbb{C}\}$ 使得 $\displaystyle A=B^{-1} \bar{B}$ 。（ $\displaystyle \bar{A}$ 为 $A$ 的共轭矩阵，$E$ 是指单位矩阵。）
第9题
9．（10 分）设 $n$ 为奇数，$\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ 且 $\displaystyle A^{2}=0$ ，求证：$\displaystyle A B-B A$ 不可逆．