📝 华中师范大学 2018年高等代数真题
第1题
1．求行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}1 & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-1} & x_{1}^{n} \\ 1 & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} & x_{2}^{n} \\ 1 & x_{3}^{2} & \cdots & x_{3}^{n-1} & x_{3}^{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1 & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-1} & x_{n}^{n}\end{array}\right|$
第2题
2．矩阵 $\displaystyle A, B$ 可相乘，$\displaystyle A B$ 列向量均为 $A$ 列向量的线性组合，证明 $\displaystyle r(A B) \leq r(A)$ 。
第3题
3．$\displaystyle f, g$ 不全为 0 且互素，证明 $\displaystyle f+g$ 与 $\displaystyle f g$ 互素。
第4题
4．求出向量组 $\displaystyle (0,1,1),(4,2,1),(5,2,1),(1,0,1)$ 的极大线性无关组：并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
第5题
5．求二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}-x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+3 x_{2} x_{3}+4 x_{1} x_{3}$ 的正惯性指数。
第6题
6．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right), M_{2}(R)$ 表示所有的 $\displaystyle 2 \times 2$ 实矩阵集。定义映射
$$
L_{A}: M_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \quad \forall M \in M_{2}(R), \quad L_{A}(M)=A M
$$
（1）证明：$\displaystyle L_{A}$ 是实向量空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle L_{A}$ 的核空间 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(L_{A}\right)$ 的组基。
$$
L_{A}: M_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \quad \forall M \in M_{2}(R), \quad L_{A}(M)=A M
$$
（1）证明：$\displaystyle L_{A}$ 是实向量空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle L_{A}$ 的核空间 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(L_{A}\right)$ 的组基。
第7题
7．称一复方阵 $N$ 为正规矩阵，如果 $\displaystyle \bar{N}^{T} N=N \bar{N}^{T}$（转置共轭）。
证明：（1）若一上三角阵为正规矩阵，则其为对角矩阵；（2）若分块矩链 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}N_{1} & N_{2} \\ 0 & N_{3}\end{array}\right)$为正规矩阵，则 $\displaystyle N_{2}$ 为零矩阵。
证明：（1）若一上三角阵为正规矩阵，则其为对角矩阵；（2）若分块矩链 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}N_{1} & N_{2} \\ 0 & N_{3}\end{array}\right)$为正规矩阵，则 $\displaystyle N_{2}$ 为零矩阵。
第8题
8．一个复方阵 $A$ 称为幂零矩阵，如果存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$ ，求 4 阶幂零方阵所有可能的 Jordan 标准形。