📝 厦门大学 2026年数学分析真题

1．（15 分）设 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散，其中 $\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ．

2．（15 分）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln (n+1)(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．

3．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续可微函数，且满足 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明：

$$
\int_{0}^{1}\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \geq \frac{1}{e}
$$

4．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有三阶连续导数，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．

5．（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的非负连续函数，满足

$$
f(x) \leq \int_{0}^{x} f(s) g(s) \mathrm{d} s, \forall x \geq 0
$$

证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[0,+\infty)$ ．

6．（20 分）记 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的点 $\displaystyle \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \mathbb{R}^{3}$ 中以原点为圆心，$\displaystyle r>0$ 为半径的开球记为 $\displaystyle B_{r}$ ，其边界为 $\displaystyle \partial B_{r}$ ．设 $\displaystyle f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ 具有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(\mathbf{x})=0, \forall x \in \partial B_{r}$ ，证明：

$$
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \iiint_{B_{r} \backslash B_{\varepsilon}} \frac{x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{x})}{|x|^{3}} \mathrm{~d} V=-4 \pi f(\mathbf{0})
$$

7．（20 分）设 $V$ 是由球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z$ 所围立体 $\displaystyle (a>0)$ ，计算 $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．

8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，$\displaystyle a_{n}(n=0,1, \cdots), b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $f$ 的 Fourier 系数．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{n}$ 均收敛。