📝 哈尔滨工业大学 2022年高等代数真题

1．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，证明：
（1）$\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}$ 等价于 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 是直和；
（2）$\displaystyle V_{1} \cup V_{2}=V$ 等价于 $\displaystyle V_{1}=V$ 或 $\displaystyle V_{2}=V$ 。

2．已知多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}\end{array}\right)$ ．
（1）证明：$A$ 的不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, f(\lambda)$ ；
（2）证明：$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值．

3．已知实矩阵 $\displaystyle A_{n \times n}$ 的列向量组为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，行向量组为 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ ，证明：对任意的 $\displaystyle \gamma \in \mathbb{R}^{n}$ ，方程组 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n}=\gamma$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关．

4．已知 $n$ 维向量

$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
-1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \cdots, \alpha_{n}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{array}\right) .
$$

考察方程组 $\displaystyle x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+\cdots+x_{n} \alpha_{n}=\beta$ ．
（1）$\displaystyle \beta$ 满足什么条件时，方程组有解？并求解．
（2）若方程组的解构成线性空间，求 $\displaystyle \beta$ 需满足的条件和该线性空间．

5．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的任意 $\displaystyle k(k=1,2, \cdots, n-1)$ 阶顺序主子式不为零．
（1）证明：存在下三角矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A$ 为上三角矩阵；
（2）证明：$A$ 可分解为下三角矩阵 $L$ 与上三角矩阵 $U$ 的乘积．

6．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，证明以下两个命题等价：
（1）$\displaystyle (\sigma(\alpha), \sigma(\beta))=(\alpha, \beta), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n}$ ；
（2）$\displaystyle \sigma$ 将 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基映射为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基．

7．已知多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 次数大于零，设 $\displaystyle f(x)=(f(x), g(x)) f_{1}(x), g(x)=(f(x), g(x)) g_{1}(x)$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f_{1}(x)+v(x) g_{1}(x)=1$ ，且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial\left(g_{1}(x)\right), \partial(v(x))<\partial\left(f_{1}(x)\right)$ ．

8．多项式 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 除以 $\displaystyle x-1$ 得商式 $\displaystyle g(x)=b_{n-1} x^{n-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}$和余式 $r$ ．
（1）求矩阵 $M$ ，使得 $\displaystyle \left(b_{n-1}, b_{n-2}, \cdots, b_{0}, r\right)=\left(a_{n}, a_{n-1}, \cdots, a_{0}\right) M$ ；
（2）求多项式 $\displaystyle x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1$ 除以 $\displaystyle x-1$ 所得的商式和余式．

9．已知 $\displaystyle A, B$ 为同阶实对称矩阵，$B$ 为正定矩阵．
（1）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵；
（2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵．