📝 安徽师范大学 2021年数学分析真题
第1题
1．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4(1-\cos x)+2 e^{-n x} \cos x}{x^{2}+e^{-n x}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．（15 分）
第2题
2．设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{\dot{1}}{2^{p}}+\cdots+\frac{1}{n^{p}}$ ，证明：当 $\displaystyle p>1$ 时 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛；当 $\displaystyle p \leq 1$ 时 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 发散．（15分）
第3题
3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内二阶可导，$\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内有界，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 （ $\displaystyle -\infty,+\infty$ ）内有界．（15 分）
第4题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，且
$$
\int_{a}^{b} x^{k} f(x) d x=0 \quad(k=0,1, \cdots, n),
$$
证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有 $\displaystyle n+1$ 个不同零点．（15 分）
$$
\int_{a}^{b} x^{k} f(x) d x=0 \quad(k=0,1, \cdots, n),
$$
证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有 $\displaystyle n+1$ 个不同零点．（15 分）
第5题
5．将函数 $\displaystyle f(x)=x(2 \pi-x), 0<x<2 \pi$ 展开成傅里叶级数并证明：$\displaystyle \pi^{2}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{6}{n^{2}}$ ．（20 分）
第6题
6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，令
$$
f_{1}(x)=f(x), f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots
$$
证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．（15 分）
$$
f_{1}(x)=f(x), f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots
$$
证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．（15 分）
第7题
7．举一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 使之满足在某点对每一个自变量都连续，但在该点不连续，并给予证明．（10 分）
第8题
8．设 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}$ ，
（1）若 $\displaystyle u=f(r), r=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \Delta u=f^{n}(r)+\frac{n-1}{r} f^{\prime}(r)(r \neq 0)$ ．（10 分）
（2）$\displaystyle \Delta\left(r^{2-n}\right)=0(r \neq 0, n \geq 3)$ ．（5 分）
（1）若 $\displaystyle u=f(r), r=\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \Delta u=f^{n}(r)+\frac{n-1}{r} f^{\prime}(r)(r \neq 0)$ ．（10 分）
（2）$\displaystyle \Delta\left(r^{2-n}\right)=0(r \neq 0, n \geq 3)$ ．（5 分）
第9题
9．利用二重积分证．明：概率积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ．（15 分）
第10题
10．设 $D$ 为单连通闭区域，计算 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为 $D$ 内任一按段光滑封闭曲线．（15 分）