📝 广西民族大学 2008年数学分析真题
第0题
一、（20 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。
第0题
四、（20 分）已知 $\displaystyle f(0)=-\frac{1}{2}$ ，确定 $\displaystyle f(x)$ 使 $\displaystyle \int_{P_{1}}^{P_{2}}\left[e^{x}+f(x)\right] y d x-f(x) d y$ 与路径无关，并求当 $\displaystyle P_{1}$ 和 $\displaystyle P_{2}$ 分别为 $\displaystyle (0,0)$ 和 $\displaystyle (1,1)$ 时此积分的值。
第0题
二、（20 分）已知 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{x_{n}+1}, n=1,2, \cdots$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 存在极限，并求此极限。
第0题
五、（20 分）设 $\displaystyle z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 。
第0题
八、（20分）设函数 $\displaystyle f(w)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty]$ 上连续，且满足如下方程求 $\displaystyle f(w)$
$$
f(w)=e^{4 \pi w^{2}}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 4 w^{2}} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x d y
$$
$$
f(w)=e^{4 \pi w^{2}}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 4 w^{2}} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x d y
$$
第0题
三、（20 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在包含 $\displaystyle [a, b]$ 的开区间内二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(c)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|
$$
$$
\left|f^{\prime \prime}(c)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|
$$