📝 湖南大学 2024年数学分析真题
第1题
1．解答如下问题：
（1）已知 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle 0<p<1,0<x_{1}<\frac{1}{p}, x_{n+1}=x_{n}\left(1-p x_{n}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{p}$ ．
（1）已知 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle 0<p<1,0<x_{1}<\frac{1}{p}, x_{n+1}=x_{n}\left(1-p x_{n}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{p}$ ．
第2题
2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=x_{0}$ 处可导．
（1）记 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{0}+\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(x_{0}+\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(x_{0}+\frac{n}{n^{2}}\right)-n f\left(x_{0}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^{2}}+\sin \frac{2}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n}{n^{2}}\right)$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n^{2}}\right)$ ．
（1）记 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{0}+\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(x_{0}+\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(x_{0}+\frac{n}{n^{2}}\right)-n f\left(x_{0}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^{2}}+\sin \frac{2}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n}{n^{2}}\right)$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n^{2}}\right)$ ．
第3题
3．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为三次多项式，$\displaystyle x \in[-1,1]$ ．证明：
$$
\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3}[f(1)+4 f(0)+f(-1)]
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的三次多项式，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为三次多项式，$\displaystyle x \in[-1,1]$ ．证明：
$$
\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3}[f(1)+4 f(0)+f(-1)]
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的三次多项式，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{6}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]
$$
第4题
4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，对任意的 $\displaystyle h>0$ ，序列 $\displaystyle \{f(n h)\}$ 极限存在．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．
第5题
5．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle M>0$ ，对任意的正整数 $n$ 及 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \leq M$ ．
（2）若 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，那么 $\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$ ．
（1）存在 $\displaystyle M>0$ ，对任意的正整数 $n$ 及 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \leq M$ ．
（2）若 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，那么 $\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$ ．
第6题
6．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{4} x(2 \pi-x), x \in[0,2 \pi]$ ．
（1）将 $\displaystyle f(x)$ 展开为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的 Fourier 级数，并计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（2）通过将 $\displaystyle f(x)$ 的 Fourier 级数逐项积分，计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．
（1）将 $\displaystyle f(x)$ 展开为 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的 Fourier 级数，并计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ ．
（2）通过将 $\displaystyle f(x)$ 的 Fourier 级数逐项积分，计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．
第7题
7．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，什么情况下方程 $\displaystyle f(x) y=g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上确定了唯一的连续解？
第8题
8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，证明：含参量积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} f(x) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle \alpha \in[0,+\infty)$ 上一致收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
第9题
9．计算曲面积分
$$
\iint_{S} x y z\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 在第一卦限的部分．
$$
\iint_{S} x y z\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 在第一卦限的部分．