📝 湖南大学 2026年高等代数真题

1．$\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{ccccc}x & 0 & 0 & 0 & 9 \\ -1 & x & 0 & 0 & 33 \\ 0 & -1 & x & 0 & 19 \\ 0 & 0 & -1 & x & 12 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & x+6\end{array}\right|$ ，在 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上做不可约分解．

2．$\displaystyle f_{i}(x)=1+x+\cdots+x^{i-1}(i=1,2, \ldots, n)$ ，计算 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccc}f_{1}(1) & \cdots & f_{1}(n) \\ f_{2}(1) & \cdots & f_{2}(n) \\ \vdots & & \vdots \\ f_{n}(1) & \cdots & f_{n}(n)\end{array}\right|$

3．$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=1 \\ -x_{2}+\lambda x_{3}-2 x_{4}=\mu \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+(\lambda+3) x_{4}=-1\end{array}\right.$为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上方程组，讨论：$\displaystyle \lambda, \mu \in \mathbb{Q}$ 时取何值时方程组有解、无解、有无

穷多解，并求解．

4．求 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & -1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & -1 \\ -1 & & & 0\end{array}\right)$ 的特征值与特征子空间．

5．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上向量，证明：$\displaystyle E_{n}+\alpha \beta^{T}$ 可逆当且仅当 $\displaystyle 1+\alpha^{T} \beta \neq 0$ 并求 $\displaystyle \left(E_{n}+\alpha \beta^{T}\right)$ 的逆．

6．$\displaystyle P \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), A \in M_{n \times s}(\mathbb{C}), Q \in M_{s \times t}(\mathbb{C})$ ，证明：

$$
\operatorname{rank}(P A Q) \geq \operatorname{rank}(P A)+\operatorname{rank}(A Q)-\operatorname{rank}(A)
$$

7．$\displaystyle A, B$ 分别为 $\displaystyle m \times l, n \times l$ 阵，证明：$A$ 的行向量组由 $B$ 的行向量线性表出当且仅当 $\displaystyle B X=0$ 的解均为 $\displaystyle A X=0$的解．

8．$A$ 为实对称阵，$\displaystyle p \in \mathbb{N}_{+}$，证明：$A$ 的正惯性指数大于等于 $p$ 当且仅当在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上有一个 $p$ 维子空间 $W$ ，使得

$$
\forall x \in W, x \neq 0, x^{T} A x>0
$$

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \ldots, \beta_{m}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上两向量组，定义 $\displaystyle (x, y)=x_{1} y_{1}+\cdots+x_{n} y_{n}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上内积，且 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)= \left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)(\forall i, j=1, \ldots, m)$ 。证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ ．

10．$A$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上可相似对角化，$\displaystyle \varphi(X)=A X A$ 为 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上线性变换。证明：$\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上存在一组基使其表示阵为对角阵。