📝 西南交通大学 2025年数学分析真题

1．（10 分）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin n$ 不存在．

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上周期为 $T$ 的连续函数．证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x$ ．

3．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续可微，且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，证明：

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0
$$

4．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．

5．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上可导，已知函数 $\displaystyle e^{-x} f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界，证明：函数 $\displaystyle e^{-x} f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上也有界．

6．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right)-6(\sqrt[3]{2-\cos x}-1)}{x^{4}}$ ．

7．（10分）证明：有限闭区间上的单调函数必定可积．

8．（10 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ 的和函数．

9．（15分）$K$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中的紧集，$\displaystyle f: K \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 为连续映射，证明：$f$ 在 $K$ 上一致连续．

10．（15分）设 $\displaystyle u(x, y)$ 所有二阶偏导数都连续，且

$$
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0, u(x, 2 x)=x, u_{x}(x, 2 x)=x^{2}
$$

求 $\displaystyle u_{x x}(x, 2 x), \overparen{u}_{x y}(x, 2 x), u_{y y}(x, 2 x)$ ．

11．（15 分）计算积分 $\displaystyle I=\iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\rho^{2}}, \rho$ 为点 $\displaystyle (x, y, z)$ 到 $x$ 轴的距离，$V$ 表示一个棱台，它的顶点坐标为

$$
A(0,0,1), B(0,1,1), C(1,1,1), D(0,0,2), E(0,2,2), F(2,2,2) .
$$

12．（15 分）求 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, \Sigma$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}, R>0$ ，方向取上侧．