📝 西南交通大学 2026年数学分析真题

1、若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 无界，但不是无穷大，证明：存在两子列一个为无穷大，一个有界。

3、若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)>0, f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)<0$ ，证明：$\displaystyle x_{0}$ 为极小值点．

4、已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \text { 为有理数 } \\ 0, x \text { 为无理数，证明：仅在 } x=0 \text { 时可导．}\end{array}\right.$

5、讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{n}} d x$ 敛散性．

6、证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{1}{3^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．

7、设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，说明在 $\displaystyle [0,1]$ 上的一致收敛性．

8、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 连续，$\displaystyle \varphi_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛．证明：

$$
F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right)
$$

在 $\displaystyle [a, A]$ 一致收敛．

9、设 $\displaystyle f=\varphi(|x y|), \varphi(0)=0$ ，原点附近 $\displaystyle |\varphi(u)| \leq u^{2}$ ，证明：$f$ 在原点可微．

10、计算 $\displaystyle \iint_{D}|\sin (x-y)| d x d y, D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq y \leq 2 \pi\}$ ．

11、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明：存在 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \rightarrow+\infty$ 使得

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0 .
$$

12、计算 $\displaystyle \iint_{S}(x-y) d x d y+x(y-z) d y d z, S$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和 $\displaystyle z=0, z=3$ 围成立体的外侧。