📝 西安理工大学 2025年数学分析真题

1、求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n^{2}+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{\sin \pi}{n^{2}+n}$ ．

2、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+\tan ^{2} x}-\sqrt{\cos x}}{x \sin x}$ ．

3、 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a) \neq f(b)$ ，试证：$\displaystyle \exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\varphi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$.

4、 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续导函数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，证不等式：

$$
\int_{0}^{1} f^{2}(x) d x \leq 4 \int_{0}^{1}(1-x)^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} d x \text { 成立. }
$$

5、讨论二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{3}+2 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0, \quad(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在原点连续性及可微性．

6、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n 0}^{\infty} \frac{(n+1)^{2}}{n!} x^{n}$ 的收玫域及和函数．

7、计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{y d x-(x-1) d y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中
（1）$L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 y=0$ 的正向．
（2）$L$ 为圆周 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}-2 x=0$ 的正向．

8、 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-12 x+16 y$ 在区域 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 25\right\}$ 最大、小值．

9、I $\displaystyle =\oiint_{\Sigma} 2 x z d y d z+y z d z d x-z^{2} d x d y, ~ \Sigma$ 由 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z=\sqrt{z-x^{2}-y^{2}}$ 围成立体，取外侧。

10、 $\displaystyle z=f(2 x-y, y \sin x)$ 有连续二阶偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．