📝 郑州大学 2026年数学分析真题

1．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (2026 x) \ln \frac{\ln 2026 x}{\ln \frac{x}{2026}}$ ．

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \frac{1}{1+\cot u^{2}} \mathrm{~d} u$ ，求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．

3．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}-1}$ 的收玫域及和函数，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和．

4．（10 分）已知曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{1}{\varphi(x)+y^{2}}(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)=A$（常数），其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 是可导函数且 $\displaystyle \varphi(1)=1 . L$ 是绕原点 $\displaystyle (0,0)$ 一周的任意正向闭曲线，试求 $\displaystyle \varphi(x)$ 及 $A$ ．

5．（10 分）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle a x+b y+c z=F\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 确定，其中 $\displaystyle F(u)$ 为可导函数，$\displaystyle a, b, c$ 为常数．证明：函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 满足方程

$$
(c y-b z) \frac{\partial z}{\partial x}+(a z-c x) \frac{\partial z}{\partial y}=b x-a y
$$

6．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有二阶连续导数，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使得

$$
\left|f(0)+f(1)-2 f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \frac{1}{4}\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|
$$

7．（ 15 分）设 $\displaystyle x_{0}=\sqrt{6}, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}(n \geq 0)$ ．
（1）证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \sqrt{3-x_{n}}$ 的玫散性，如果收敛，判断是绝对收玫还是条件收敛。

8．（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．且每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ．

9．（20分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导．$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a)>0, f_{-}^{\prime}(b)>0$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(c)=0$ ．
（2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（3）证明：存在 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)<0, f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)>0$ ．

10．（15 分）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n\left(1+x^{n}\right)}$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．

11．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，常数 $\displaystyle a, b>0$ ．
（1）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \ln \frac{b}{a}$ ．
（2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(2 x^{2}\right)-\arctan \left(x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x$ ．