设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，其 2 阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为
设 $y=\displaystyle\frac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+\left(x-\displaystyle\frac{1}{3}\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程
$y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c \mathrm{e}^{x}$ 的一个特解，则（ ）
若级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，则 $x=\sqrt{3}$ 与 $x=3$ 依次为幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x-1)^{n}$ 的
设 $D$ 是第一象限中的曲线 $2 x y=1,4 x y=1$ 与直线 $y=x, y=\sqrt{3} x$ 围成的平面区域，函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ d \\ d^{2}\end{array}\right)$ ．若集合 $\Omega=\{1,2\}$ ，则线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解的充分必要条件为
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为 $2 y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right)$ 。若 $\boldsymbol{Q}=\left(\boldsymbol{e}_{1},-\boldsymbol{e}_{3}, \boldsymbol{e}_{2}\right)$ ，则 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 下的标准形为
若 $A, B$ 为任意两个随机事件，则
设随机变量 $X, Y$ 不相关，且 $E(X)=2, E(Y)=1, D(X)=3$ ，则 $E[X(X+Y-2)]=()$
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
$\displaystyle\int_{-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\left(\displaystyle\frac{\sin x}{1+\cos x}+|x|\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ .
若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{z}+x y z+x+\cos x=2$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 $\iiint_{\Omega}(x+2 y+3 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ＝ $\_\_\_\_$ ．
$n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}2 & 0 & \cdots & 0 & 2 \\ -1 & 2 & \cdots & 0 & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^{3}$ 。若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \longrightarrow 0$ 时是等价无穷小，求 $a, b, k$ 值。
设函数 $f(x)$ 在定义域 $I$ 上的导数大于零。若对任意的 $x_{0} \in I$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 处的切线与直线 $x=x_{0}$ 及 $x$ 轴所围成区域的面积恒为 4 ，且 $f(0)=2$ ，求 $f(x)$ 的表达式。
（I）设函数 $u(x), v(x)$ 可导，利用导数定义证明 $[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$ ； （II）设函数 $u_{1}(x), u_{2}(x), \cdots, u_{n}(x)$ 可导，$f(x)=u_{1}(x) u_{2}(x) \cdots u_{n}(x)$ ，写出 $f(x)$ 的求导公式。
（本题满分 10 分） 已知曲线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{2-x^2-y^2} \\ z=x,\end{array}\right.$ 起点为 $A(0, \sqrt{2}, 0)$ ，终点为 $B(0,-\sqrt{2}, 0)$ ，计算曲线积分 $I=\displaystyle\int_L(y+z) \mathrm{d} x+\left(z^2-x^2+y\right) \mathrm{d} y+x^2 y^2 \mathrm{~d} z$ ．
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 的一个基， $\boldsymbol{\beta}_{1}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+2 k \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+(k+1) \boldsymbol{\alpha}_{3}$. （ I ）证明向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 的一个基； （II）当 $k$ 为何值时，存在非零向量 $\boldsymbol{\xi}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 与基 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 下的坐标相同，并求所有的 $\boldsymbol{\xi}$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$ ． （I）求 $a, b$ 的值； （II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵。
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}2^{-x} \ln 2, & x\gt 0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases}
$$
对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $Y$ 为观测次数。
（I）求 $Y$ 的概率分布；
（II）求 $E(Y)$ 。
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{1}{1-\theta}, & \theta \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为未知参数．$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自该总体的简单随机样本．
（I）求 $\theta$ 的矩估计量；
（II）求 $\theta$ 的最大似然估计量．