定积分的性质（线性、区间可加性、不等式性质、积分中值定理）

### 第140题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a)=f(b)=0$ ． 试证存在 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\xi)+f^{2}(\xi)=0$ ．

### 第149题 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $$ $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0 .$ $$

### 第164题 设 $C$ 是圆周 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=r^{2}$ ，取逆时针方向，$f(x)$ 是连续的正值函数，证明： $$ $\displaystyle \oint_{C} x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant 2 \pi r^{2} .$ $$

### 第177题 设函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内二阶可导且 $y^{\prime} \neq 0, x=x(y)$ 是 $y=y(x)$ 的反函数． （1）将 $x=x(y)$ 所满足的微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^{3}=0$ 变换为 $y=y(x)$ 满足的微分方程． （2）求（1）中变换后的微分方程满足初始条件 $\displaystyle y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$ 的特解． ## ## 纠龍筸 觜记

### 第195题 已知非齐次线性方程组（I）与（II）同解，其中 （I）$\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}-2 x_{3} & =5, \\ x_{2}+x_{3} & =2,\end{aligned}\right.$ （II）$\left\{\begin{array}{l}a x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=11, \\ 2 x_{1}+5 x_{2}-a x_{3}=16,\end{array}\right.$ 则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第296题 设随机变量 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ．已知 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=1$ ，则 $P\{X=0, Y=1\}$ 的值必为 （A） 0 ． （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D） 1 ．

### 第57题 $\displaystyle \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x+y^{2}}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．$ 建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}